Công thức về tập hợp (2024) chi tiết nhất

Phương pháp giải về tập hợp chi tiết nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

- Tập hợp có thể hiểu là sự gom nhóm hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó, cùng có một đặc điểm đặc trưng nào đó giống nhau.

- Cho tập hợp A. Nếu a là phần tử của tập hợp A thì ta viết $a\in A$. Nếu a không phải là phần tử của A thì ta viết $a\notin A$.

- Cách viết tập hợp:

+ Liệt kê các phần tử của tập hợp bằng cách viết tất cả phần tử của tập hợp vào giữa hai dấu “{ }” và mỗi phần tử ngăn cách nhau bởi dấu “;”.

+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

+ Minh họa cho tập hợp bằng một đường cong khép kín, gọi là biểu đồ ven.

- Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu $\varnothing$

- Tập hợp con của một tập hợp: Cho 2 tập hợp A, B , nếu mọi phần tử của B cũng là phần tử của A thì B là tập hợp con của A. Kí hiệu: $B\subset A$

- Hai tập hợp bằng nhau: Hai tập hợp A và B bằng nhau nếu A là tập con của B và đồng thời B cũng là tập con của A. Kí hiệu: A = B

- Phép toán tập hợp:

+ Phép giao: Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc tập hợp A, vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu: $C=A\cap B$

+ Phép hợp: Tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B. Kí hiệu: $C=A\cup B$

+ Phép hiệu: Tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B được gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu: C = A \ B

+ Phép lấy phần bù: Khi B là tập hợp con của tập hợp A thì phép hiệu A \ B được gọi là phần bù của B trong A. Kí hiệu: $C_{A}B$

- Chú ý:

+ A là tập hợp con của A.

+ Tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp.

+ Tập hợp A có n phần tử thì nó có $2^n$ tập con.

+ Nếu tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B và B là tập hợp con của C thì A là tập hợp con của C.

II. Các công thức

- Tập hợp con:

+ $B\subset A\iff \forall x:x\in B\Rightarrow x\in A$

+ $\begin{array}{l}A\subset B\\ B\subset C\end{array}\Rightarrow A\subset C$

+ $A\subset A;\varnothing \subset A$

+ Tập hợp A có n phần tử thì số tập hợp con của A là $2^n$

- Hai tập hợp bằng nhau: $A=B\iff \begin{array}{l}A\subset B\\ B\subset A\end{array}$

- Phép giao: $A\cap B=\text{{}x:x\in A$ và $x\in B\text{}}$

- Phép hợp: $A\cap B=\text{{}x:x\in A$ hoặc $x\in B\text{}}$

- Phép hiệu:

+ $A\backslash B=\text{{}x:x\in A$ và $x\notin B\text{}}$

+ $A\backslash A=\varnothing ;A\backslash \varnothing =A$

+ $A\backslash B\ne B\backslash A$

- Phép lấy phần bù: $B\subset A\Rightarrow C_{A}B=A\backslash B$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1:

Lời giải:

Ta có:

$x=1\in A$ và $x=1\in B$

$x=2\in A$ và $x=2\in B$

$x=3\in A$ và $x=3\in B$

$\Rightarrow \forall x:x\in A\Rightarrow x\in B$

$\Rightarrow A\subset B$ (điều cần phải chứng minh)

Ta lại có:

$A\subset B$ (chứng minh trên)

$B\subset C$ (theo đề bài)

$\Rightarrow A\subset C$ (điều cần phải chứng minh)

Tập hợp A có 3 phần tử, số lượng tập hợp con của tập hợp A là: $2^3=8$

Bài 2:

Lời giải:

Xét phương trình $x^2-3x+2=0$ có: 1 – 3 + 2 = 0

Phương trình có hai nghiệm: $x_1=1;x_2=2$

A = {1; 2}

Xét phương trình (x – 1)(x – 2) = 0$\iff \begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}$

B = {1; 2}

Ta có:

x = 1 thuộc A và cũng thuộc B.

x = 2 thuộc A và cũng thuộc B.

$\Rightarrow A\subset B$ (1)

x = 1 thuộc B và cũng thuộc A.

x = 2 thuộc B và cũng thuộc A.

$\Rightarrow B\subset A$ (2)

Từ (1) và (2) ta có A = B.

Bài 3:

Lời giải:

Xét hai tập hợp A và C ta có:

x = 1 thuộc A và không thuộc C

x = 12 thuộc A và thuộc C

x = 20 thuộc A và thuộc C

x = 21 thuộc A và không thuộc C

x = 19 thuộc C và không thuộc A

x = 3 thuộc C và không thuộc A

$A\cap C=\text{{12;20}\}$ ,$A\cup C=\text{{}1;3;12;19;20;21\text{}}$, A\C = {1; 21}

Xét hai tập hợp A và B có:

x = 1 vừa thuộc B vừa thuộc A

x = 12 vừa thuộc B vừa thuộc A

x = 20 vừa thuộc B vừa thuộc A

$\Rightarrow B\subset A\Rightarrow C_{A}B=A\backslash B$

x = 21 thuộc A và không thuộc B

$\Rightarrow C_{A}B=A\backslash B=\text{{}21\}$

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1:

Bài 2: