Anonymous

Công thức về Hệ trục tọa độ (2024) chi tiết nhất

- asked 4 months agoVotes

0Answers

1Views

Công thức về Hệ trục tọa độ lớp 10 chi tiết nhất - Toán lớp 10

A. Lí thuyết tóm tắt.

- Tọa độ của điểm trên trục: Có: $\vec{O M} = k \vec{e}$ . Khi đó số k là tọa độ của điểm M trên trục (O; $\vec{e}$ ).

- Tọa độ của điểm trong mặt phẳng Oxy: Có $M (x; y) \Leftrightarrow \vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j}$ .

- Tọa độ của vectơ trên trục: Trên trục (O; $\vec{e}$ ) , hai điểm A và B trên trục (O; $\vec{e}$ ) có tọa độ lần lượt là a và b thì $\bar{A B}$ = b – a. Trong đó, $\bar{A B}$ là độ dài đại số của vectơ $\vec{A B}$ đối với trục (O; $\vec{e}$ ).

- Tọa độ của vectơ trong mặt phẳng Oxy: Với $\vec{u} = (x; y) \Leftrightarrow \vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j}$ . Với $A (x_{A}; y_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B})$ ta có: $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .

- Tọa độ trung điểm

+) Trên trục (O; $\vec{i}$ ), I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

$x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$

+) Trong mặt phẳng Oxy, I $(x_{I}; y_{I})$ là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

$x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}; y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$

- Tọa độ của trọng tâm G $(x_{G}; y_{G})$ của tam giác ABC là:

$x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$

- Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Hai vectơ $\vec{u} = (u_{1}; u_{2})$ và $\vec{v} = (v_{1}; v_{2})$ với $\vec{v} \neq \vec{0}$ cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $u_{1} = k v_{1}$ và $u_{2} = k v_{2}$ .

- Hai vectơ bằng nhau khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

- Phép toán về tọa độ của vectơ:

Cho $\vec{u} = (u_{1}; u_{2})$ và $\vec{v} = (v_{1}; v_{2})$ , khi đó:

$\vec{u} + \vec{v} = (u_{1} + v_{1}; u_{2} + v_{2}) \vec{u} - \vec{v} = (u_{1} - v_{1}; u_{2} - v_{2}) k . \vec{u} = (k u_{1}; k u_{2}), k \in ℝ$

B. Các công thức.

- Độ dài đại số của vectơ $\vec{A B}$ trên trục: $\bar{A B}$ = b – a. ( a, b là tọa độ của A và B trên trục)

- Trong mặt phẳng Oxy:

+) Tọa độ của điểm: $M (x; y) \Leftrightarrow \vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j}$

+) Tọa độ của vectơ:

$\vec{u} = (x; y) \Leftrightarrow \vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j}$

$\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ trong đó $A (x_{A}; y_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B})$

- Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

+) Trên trục (O; $\vec{i}$ ) : $x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$

+) Trong mặt phẳng Oxy: $x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}; y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$

- Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

$x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$

- Điều kiện hai vectơ $\vec{u} = (u_{1}; u_{2})$ và $\vec{v} = (v_{1}; v_{2})$ cùng phương: $\frac{u_{1}}{v_{1}} = \frac{u_{2}}{v_{2}} = k$

- Hai vectơ bằng nhau: Cho $\vec{u} = (u_{1}; u_{2})$ và $\vec{v} = (v_{1}; v_{2})$ ta có: $\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \begin{array}{l} u_{1} = v_{1} \\ u_{2} = v_{2} \end{array}$

- Phép toán về tọa độ của vectơ: Cho $\vec{u} = (u_{1}; u_{2})$ và $\vec{v} = (v_{1}; v_{2})$

$\vec{u} + \vec{v} = (u_{1} + v_{1}; u_{2} + v_{2}) \vec{u} - \vec{v} = (u_{1} - v_{1}; u_{2} - v_{2}) k . \vec{u} = (k u_{1}; k u_{2}), k \in ℝ$

C. Ví dụ minh họa.

Bài 1:

Giải:

Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta có:

Gọi $I = (x_{I}; y_{I})$ .

$x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{- 1 + 2}{2} = \frac{1}{2} y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \Rightarrow I = (\frac{1}{2}; 4)$

Gọi $G = (x_{G}; y_{G})$

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác ta có:

$x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{- 1 + 2 + 1}{3} = \frac{2}{3} y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{3 + 5 + 4}{3} = 4 \Rightarrow G = (\frac{2}{3}; 4)$