Công thức giải bất phương trình bậc hai một ẩn (2024) chi tiết nhất

Công thức giải bất phương trình bậc hai một ẩn chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổng hợp.

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng $a{x}^2+bx+c<0$ (hoặc $a{x}^2+bx+c\le 0$,$a{x}^2+bx+c>0$ ,$a{x}^2+bx+c\ge 0$), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và $a\ne 0$.

- Giải bất phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c<0$ thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = $a{x}^2+bx+c$ cùng dấu với hệ số a hay trái dấu với hệ số a.

II. Các công thức.

Cho tam thức bậc hai f(x) = $a{x}^2+bx+c$ có $a\ne 0$, $\Delta =b^2-4ac$, ta có:

thì:

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1:

Lời giải:

Xét tam thức bậc hai: $x^2+5x-6$

Ta có: $\Delta =5^2-4.(-6).1=49$ > 0

Nghiệm của tam thức là: $x_1=\frac{-5+\sqrt{49}}{2.1}=1$,$x_2=\frac{-5-\sqrt{49}}{2.1}=-6$

Hệ số a = 1 > 0 nên ta có:

$x^2+5x-6>0\iff \begin{array}{l}x<-6\\ x>1\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(-\infty ;-6\right)\cup \left(5;+\infty \right)$.

Bài 2:

Lời giải:

Xét tam thức bậc hai: $3x^2+2x+5$

Ta có:

$\begin{array}{l}a=3>0\\ \Delta =2^2-\mathrm{4.3.5}=-54<0\end{array}\Rightarrow 3x^2+2x+5>0\forall x\in ℝ$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ$.

Bài 3:

Lời giải:

Xét tam thức bậc hai: $2x^2-4x-5$

Ta có: $\Delta \text{'}={(-2)}^2-2.(-5)=14$> 0

Nghiệm của tam thức là: $x_1=\frac{-(-2)+\sqrt{14}}{2}=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$,

$x_2=\frac{-(-2)-\sqrt{14}}{2}=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$

Hệ số a = 2 > 0 nên ta có:

$2x^2-4x-5<0\iff \frac{2-\sqrt{14}}{2}<x<\frac{2+\sqrt{14}}{2}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

$S=\left(\frac{2-\sqrt{14}}{2};\frac{2+\sqrt{14}}{2}\right)$

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1:

Bài 2: