Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song- Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng này đến đường thẳng kia.

- Để tính khoảng cách hai đường thẳng song song ta cần:

+ Đưa phương trình hai đường thẳng về dạng tổng quát.

+ Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d.

+ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ .

+ Kết luận: d(d; d’) = d(A; d’) .

II. Các công thức.

- Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và d’: ax + by + c’(d // d’).

+ Lấy điểm A(x’; y’) thuộc d

+ Tính khoảng cách từ A đến d’, có: $d(d;d\text{'})=d(A;d\text{'})=\frac{\left.ax\text{'}+by\text{'}+c\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho hai đường thẳng song song là d: 3x + 2y + 1 = 0 và d’: 3x + 2y - 1 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Lời giải:

Có điểm A(-1; 1) thuộc đường thẳng d: 3x + 2y + 1 = 0

Ta có:

$d(d;d\text{'})=d(A;d\text{'})=\frac{\left.3.(-1)+2.1-1\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$

Bài 2: Cho hai đường thẳng song song là d: x + 5y – 1 = 0 và d’: x + 5y + 4 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Lời giải:

Có điểm A(-4; 1) thuộc đường thẳng d: x + 5y – 1 = 0

Ta có: 

$d(d;d\text{'})=d(A;d\text{'})=\frac{\left.-4+5.1+4\right|}{\sqrt{1^2+5^2}}=\frac{5\sqrt{26}}{26}$

Bài 3: Cho hai đường thẳng song song là d: 3x + 4y + 2 = 0 và d’: 3x + 4y + 4 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Lời giải:

Có điểm A(2; -2) thuộc đường thẳng d: 3x + 4y + 2= 0

Ta có:

$d(d;d\text{'})=d(A;d\text{'})=\frac{\left.3.2+4.(-2)+4\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{2}{5}$

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hai đường thẳng song song là d: 6x + 8y + 9 = 0 và d’: 6x + 8y + 7 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Bài 2: Cho hai đường thẳng song song là d: x + y + 2 = 0 và d’: x + y + 5 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.