Công thức phân tích vectơ (2024) chi tiết nhất

Công thức Phân tích vectơ lớp 10 chi tiết nhất - Toán lớp 10

A. Lí thuyết tóm tắt.

- Định nghĩa tích của vectơ với một số: Cho số k$\ne$0 và vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Tích của vectơ với số k là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $\left.k\right|\left.\overrightarrow{a}\right|$.

- Điều kiện để hai vectơ cùng phương: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.

- Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có tồn tại một số k khác 0 để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

- Tính chất của tích vectơ với một số:

+) $k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$

+) $(h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$

+) $h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}$

+) $1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};(-1)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$

+) $0.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$; $k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

- Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ sao cho $\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$. (h, k là duy nhất).

B. Các công thức.

- Quy tắc trung điểm: I là trung điểm của AB

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ ( M tùy ý )

- Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ ( M tùy ý )

- Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

- Phân tích một vectơ theo hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương: $\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$ (h, k là duy nhất)

- Độ dài vectơ tích của vectơ với một số: $\left.k\overrightarrow{a}\right|=\left.k\right|.\left.\overrightarrow{a}\right|$

- Điều kiện 2 vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$($\overrightarrow{b}\ne 0$) cùng phương: $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ ( k$\ne$0)

- Điều kiện 3 điểm thẳng hàng: $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$

- Tính chất của tích vectơ với một số:

$k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}(h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};(-1)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}0.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0};k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

C. Ví dụ minh họa.

Bài 1:

Giải:

Vì K là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{KB}$.

Vì M là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$.

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\Rightarrow \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{KB}\Rightarrow \overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM})+2(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB})\Rightarrow \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BM}+2\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BM}+2\overrightarrow{KA}\Rightarrow \overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{AK}\Rightarrow -3\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{AK}\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{BM}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AK}$

Bài 2:

Giải:

Áp dụng quy tắc trung điểm ta có:

$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=2\overrightarrow{NM}\Rightarrow \overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{NA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{NB}$

Bài 3:

Giải:

Ta có: BM = 2MI

$\Rightarrow \overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI}$

Áp dụng quy tắc ba điểm có: $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}$

Mà ABCD là hình bình hành nên: $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}$

Mà I là trung điểm CD nên: $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CI}$.

$\Rightarrow 2\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{CI}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})\Rightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$

Vậy A, M, C thẳng hàng.

D. Bài tập tự luyện.

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3: