Công thức về tổng và hiệu hai vectơ (2024) và cách giải các dạng bài tập

Công thức về tổng và hiệu hai vectơ chi tiết nhất - Toán lớp 10

A. Lý thuyết tóm tắt về tổng - hiệu hai vecto

- Định nghĩa tổng của hai vectơ: Có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

- Vectơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$. Kí hiệu là $-\overrightarrow{a}$. Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{0}$ là $\overrightarrow{0}$.

- Định nghĩa hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ tùy ý. Ta có: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$.

- Tính chất của phép cộng :

+) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ ( giao hoán )

+) $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ ( kết hợp )

+) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$

- Quy tắc ba điểm: Với A, B, C tùy ý

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (đối với tổng)

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (đối với hiệu)

B. Các công thức tổng - hiệu hai vecto

- Vectơ đối: $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}\iff \left.\overrightarrow{a}\right|=\left.\overrightarrow{b}\right|$ và $\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{b}$

- Hiệu hai vectơ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$.

- Độ dài vectơ tổng, hiệu:

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\Rightarrow \left.\overrightarrow{u}\right|=\left.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\Rightarrow \left.\overrightarrow{v}\right|=\left.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$

- Tính chất phép cộng:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$

- Quy tắc ba điểm: A, B, C tùy ý.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$

- Chú ý: $\overrightarrow{0}=-\overrightarrow{0}$; $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$

C. Ví dụ minh họa

Bài 1:

Giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm với A, B, C ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left.\overrightarrow{AC}\right|=AC=a$

Bài 2:

Giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}$ (1)

Áp dụng tính chất phép cộng vectơ ta có:

(1)$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$

$=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{CD}$

Áp dụng quy tắc ba điểm với A, B, C có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \left(1\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$

Áp dụng quy tắc ba điểm với A, C, D có:

$\Rightarrow \left(1\right)=\overrightarrow{AD}\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow \left.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\right|=\left.\overrightarrow{AD}\right|=AD=2a$

Bài 3:

Giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm về hiệu cho ba điểm M, N, E ta có: $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{EN}$

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{ME}\right|=\left.\overrightarrow{EN}\right|=EN=6a$

Ta có:

$\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{NM}+(-\overrightarrow{EM})=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{NE}\Rightarrow \left.\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{EM}\right|=\left.\overrightarrow{NE}\right|=NE=6a$

D. Bài tập tự luyện

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5: