Tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải bài tập – Toán lớp 10

A. Lí thuyết.

- Tổng của hai vectơ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ tùy ý. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ tức là: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

- Tính chất của phép cộng các vectơ: Với các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ tùy ý ta có:

+) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ (tính chất giao hoán);

+) $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ (tính chất kết hợp);

+) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$ (tính chất của vectơ – không)

- Vectơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$. Kí hiệu là $-\overrightarrow{a}$.

- Hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ tùy ý. Ta có: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$.

- Quy tắc ba điểm: Với A, B, C tùy ý ta luôn có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$

- Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

- Quy tắc trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB $\iff \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

- Quy tắc trọng tâm: Với G là trọng tâm của tam giác ABC $\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

- Chú ý: Vectơ đối của vectơ - không là vectơ - không.

B. Các dạng bài.

Dạng 1: Tìm tổng của hai hay nhiều vectơ.

Phương pháp giải:

Dùng định nghĩa tổng của hai vectơ, quy tắc ba điểm về tổng, quy tắc hình bình hành và các tính chất của tổng các vectơ.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Giải:

$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BE}$

$=(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})+(\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC})$ (áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp)

$=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}$ (áp dụng quy tắc ba điểm)

$=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{BA}$ (áp dụng quy tắc ba điểm)

Bài 2:

Giải:

+) Vì ABCD là hình vuông $\Rightarrow$ AB // DC và AB = DC.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho D, C, B ta có: $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}$

+) Vì A, O, C cùng nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông ABCD)

$\Rightarrow \overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}\Rightarrow \overrightarrow{CO}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}$

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho O, A, D ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CO}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}$

Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của hai vectơ.

Phương pháp giải:

Dùng định nghĩa hiệu của hai vectơ, tìm vectơ đối và áp dụng quy tắc ba điểm về hiệu.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Giải:

+) Vì $\left.\overrightarrow{BA}\right|=\left.\overrightarrow{AB}\right|=AB$ và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

+) Vì AB = DC , AB // DC (do ABCD là hình vuông)

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{AB}\right|=\left.\overrightarrow{CD}\right|$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$.

+) Vì A, O, C là ba điểm thẳng hàng và OA = OC (do ABCD là hình vuông)

$\Rightarrow \overrightarrow{AO}$ ngược hướng với $\overrightarrow{CO}$ và $\left.\overrightarrow{AO}\right|=\left.\overrightarrow{CO}\right|\Rightarrow \overrightarrow{CO}=-\overrightarrow{AO}$ .

Vậy $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CD}$ là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CO}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{AO}$

Bài 2:

Giải:

+) Vì $\left.\overrightarrow{BA}\right|=\left.\overrightarrow{AB}\right|=AB$ và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

+) Ta có: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}+(-\overrightarrow{AB})$

$=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho ba điểm A, D, B có: $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}$.

+) Vì $\left.\overrightarrow{DO}\right|=\left.\overrightarrow{OD}\right|=OD$ và $\overrightarrow{OD}$ ngược hướng với $\overrightarrow{DO}$ $\Rightarrow \overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{DO}$.

+) Ta có: $\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{CO}+(-\overrightarrow{DO})$

$=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CD}$

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ.

Phương pháp giải:

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$

Giải:

$\Rightarrow$ (điều cần phải chứng minh)

Bài 2:

Giải:

Giả sử $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$ là đúng.

$\Rightarrow \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0}$ (1)

Vì N là trung điểm của AC $\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}$

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình và P là trung điểm của BC .

$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}BC=BP\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BP}$

(1) $\iff \overrightarrow{CM}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}$

$\iff \left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CM}\right)+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN}$ (luôn đúng)

$\Rightarrow$Đẳng thức $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$ là đúng.

Dạng 4: Tính độ dài các vectơ tổng hoặc hiệu.

Phương pháp giải:

Đưa tổng hoặc hiệu của các véctơ về một véctơ có độ dài là một cạnh của đa giác để tính độ dài của vectơ.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Giải:

+) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\Rightarrow \left.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left.\overrightarrow{AC}\right|=AC$

+) Vì ABCD là hình chữ nhật $\Rightarrow$BC = AD = 2a.

+) Xét tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Bài 2:

Giải:

+) Vì $\left.\overrightarrow{BA}\right|=\left.\overrightarrow{AB}\right|=AB$ và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$

+) Ta có:

$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}+(-\overrightarrow{BA})=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow \left.\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}\right|=\left.\overrightarrow{CB}\right|=CB=a$

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1:

Đáp án:

Bài 2:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}$

Đáp án:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$

Bài 3:

Đáp án:

$\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QN}+\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{ME}$

Bài 4:

Đáp án:

Bài 5:

Đáp án:

Bài 6:

Đáp án:

Bài 7:

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$

Đáp án:

$VT=\overrightarrow{AC}+(\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DC})-\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}=VP$

Bài 8:

Đáp án:

Bài 9:

Đáp án:

$VP=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BD}=VT$

Bài 10:

Đáp án:

Bài 11:

Đáp án:

Bài 12:

Đáp án: