Công thức lượng giác (2024) và cách giải bài tập chi tiết nhất

Công thức lượng giác chi tiết và cách giải bài tập

I. Tổng hợp các công thức lượng giác

1. Công thức cộng lượng giác

2. Công thức nhân, hạ bậc lượng giác

* Công thức nhân đôi:

* Công thức hạ bậc:

* Công thức nhân ba:

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

4. Công thức biển đổi tổng thành tích

5. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác

a) Phương trình lượng giác cơ bản

b) Phương trình lượng giác đặc biệt

6. Bảng xét dấu của các giá trị lượng giác

7. Bảng giá trị lương giác của các góc đặc biệt

II. Các dạng bài tập lượng giác

Dạng 3.1: Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt

a. Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giá của một góc.

- Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.

- Sử dụng các công thức lượng giác.

b. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a. $\cos \frac{37\pi }{12}$;

b. $\tan \frac{\pi }{24}+\tan \frac{7\pi }{24}$.

Hướng dẫn:

a.

b.

Ví dụ 2:

a. $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ biết $\sin x=\frac{3}{5}$ với $\frac{\pi }{2}<x<\pi$;

b. $\cos \left(\alpha -\beta \right)$ biết $\sin \alpha =\frac{5}{13}$, $\left(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \right)$ và $\cos \beta =\frac{3}{5}$, $\left(0<\beta <\frac{\pi }{2}\right)$.

Hướng dẫn:

a. Ta có:

b. Ta có:

Dạng 3.2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Dùng hệ thức lượng giác biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

a. (Áp dụng công thức hạ bậc) Ta có:

Suy ra đpcm.

b. (Áp dụng công thức góc nhân ba) Ta có:

$VT=\frac{1}{4}\cos 3x\left(3sinx-sin3x\right)+\frac{1}{4}\sin 3x\left(3cosx+cos3x\right)=\frac{3}{4}\left(sinx.cos3x+cosx.sin3x\right)=\frac{3}{4}sin4x=VP$

Suy ra đpcm.

Ví dụ 2:

$\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \left(\frac{A+C}{2}\right)}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \left(\frac{A+C}{2}\right)}-\frac{\cos (A+C)}{\sin B}.\tan B=2$

Hướng dẫn:

Do tam giác ABC có $A+B+C={180}^0$, suy ra $A+C={180}^0-B$

Do đó, ta có:

Suy ra đpcm.

Dạng 3.3: Thu gọn biểu thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a. $A=cos10x+2co{s}^{2}4x+6cos3x.\cos x-\cos x-8\cos x.co{s}^{3}3x$

b.

$B=\frac{\sin 3x+\cos 2x-\sin x}{\cos x+\sin 2x-\cos 3x}\left(\sin 2x\ne 0;2\sin x+1\ne 0\right)$

Hướng dẫn:​

a. Ta có:

b. Ta có:

Ví dụ 2:

$C={\sin }^{2}x+2\sin \left(a–x\right).\sin x.\cos a+{\sin }^2\left(a–x\right)$

Hướng dẫn:

Dạng 3.4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

a. Phương pháp giải:

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến tức là sau khi rút gọn biểu thức ta được kết quả không chứa biến. Do đó, để giải dạng toán này, ta sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn. Nếu biểu thức sau khi thu gọn không chứa biến, ta suy ra điều phải chứng minh.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

$A={\cos }^{2}x+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}+x\right)+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}-x\right)$

Hướng dẫn:

Ta có:

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

Ví dụ 2:

$C=2{\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right)}^2–\left({\sin }^{8}x+{\cos }^{8}x\right)$

Hướng dẫn:

Ta có:

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

Dạng 3.5: Tính giá trị biểu thức

a. Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức cơ bản, các công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Ta có:

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Ta có:

III. Bài tập vận dụng

a. Tự luận

Câu 1: Cho $x+y+z=\pi$, chứng minh rằng: tanx + tany + tanz = tanx . tany . tanz.

Hướng dẫn:

Từ giả thiết, ta có:

Suy ra đpcm.

Câu 2: Cho $\sin x+\sin y=2sin\left(x+y\right)$, với $x+y\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng: $tan\frac{x}{2}.tan\frac{y}{2}=\frac{1}{3}$.

Hướng dẫn:

Từ giả thiết, ta có:

Suy ra đpcm.

Câu 3:

Hướng dẫn:

Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{2}{3}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$

(vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha >0$).

Ta có: $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{2}=\frac{2-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}$

Câu 4:

Hướng dẫn:

Câu 5: Cho số thực $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{1}{4}$. Tính $\left(\sin 4\alpha +2\sin 2\alpha \right)\cos \alpha$.

Hướng dẫn:

Ta có:

Câu 6:

Hướng dẫn:

Câu 7:

Hướng dẫn:

Ta có:

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Câu 8:

Hướng dẫn:

Ta có:

Câu 9:

Hướng dẫn:

Ta có:

Câu 10:

Hướng dẫn:

Ta có

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến α.

b. Trắc nghiệm

Câu 1:

A. $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

B. $\sin x-\cos x=-\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

C. $\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$.

D. $\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$.

Câu 2:

A. $\cot 2x=\frac{{\cot }^{2}x-1}{2\cot x}$.

B. $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$.

C. $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$.

D. $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$

Câu 3:

A. $\frac{3}{4}$.

B. $\frac{3}{8}$.

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

D. $\frac{-3}{4}$.

Câu 4:

A. $-\frac{113}{144}.$

B. $-\frac{115}{144}.$

C. $-\frac{117}{144}.$

D. $-\frac{119}{144}.$

Câu 5:

A. $\frac{3}{2}$.

B. 2.

C. 1.

D. $\frac{1}{4}$.

Đáp án: