Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10

1. Lý thuyết

a. Định nghĩa:

Trên đường tròn lượng giác cho cung $\stackrel{\curvearrowright }{AM}$ có sđ $\stackrel{\curvearrowright }{AM}=\alpha$, khi đó:

+) Tung độ của M gọi là sin của $\alpha$, kí hiệu là $\sin \alpha$: $\sin \alpha =\overline{OQ}$

+) Hoành độ của M gọi là cosin của $\alpha$, kí hiệu là $cos\alpha$: $cos\alpha =\overline{OP}$

+) Nếu $cos\alpha \ne 0$, tỉ số $\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }$ gọi là tang của $\alpha$, kí hiệu là $\tan \alpha$: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }$

+) Nếu $\sin \alpha \ne 0$, tỉ số $\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }$ gọi là côtang của $\alpha$, kí hiệu là $\cot \alpha$: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

Các giá trị $\sin \alpha$,$cos\alpha$,$\tan \alpha$,$\cot \alpha$ được gọi là các giá trị lượng giác của cung $\alpha$. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.

b. Hệ quả:

+) $\sin \alpha ,\cos \alpha$ xác định với mọi giá trị của $\alpha$ và $-1\le \sin \alpha \le 1,-1\le \cos \alpha \le 1$.

+) $\tan \alpha$ được xác định khi $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, xác định khi $\alpha \ne k\pi$

+) $\sin \alpha =\sin \left(\alpha +k2\pi \right),\cos \alpha =\cos \left(\alpha +k2\pi \right)$

$\tan \alpha =\tan \left(\alpha +k\pi \right),\cot \alpha =\cot \left(\alpha +k\pi \right)$

+) Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác.

Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác:

c. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

d. Các công thức lượng giác cơ bản:

e. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt:

2. Các dạng bài

Dạng 2.1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị

a. Phương pháp giải:

Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Ta có:

${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}\Rightarrow \sin \alpha =\pm \frac{3}{5}$

Do $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha >0$. Suy ra, $\sin \alpha =\frac{3}{5}$.

Từ đó, suy ra: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{5}:\frac{4}{5}=\frac{3}{4}$;

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{4}{5}:\frac{3}{5}=\frac{4}{3}$.

Ví dụ 2: Cho $\tan \alpha =-\frac{4}{5}$ với $\frac{\text{3}\pi }{\text{2}}<\alpha <2\pi$. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc $\alpha$.

Hướng dẫn:

Ta có:

Dạng 2.2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

$\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)-\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)-\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=2\sin \alpha$b.

$\sin \left(\pi +x\right)\text{+cos}\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cot \left(2\pi -x\right)+\tan \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-2\sin x$

Hướng dẫn:

a. Ta có:

$VT=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)-\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)-\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \alpha +\cos \alpha +\sin \alpha -\cos \alpha =2\sin \alpha =VP$

Suy ra đpcm.

b. Ta có:

$VT=\sin \left(\pi +x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cot \left(2\pi -x\right)+\tan \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\sin x-\sin x+\cot (\pi +\pi -x)+\tan \left(\pi +\frac{\pi }{2}-x\right)=-\sin x-\sin x+\cot (\pi -x)+tan\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-2\sin x-\cot x+\cot x=-2\sin x=VP$

Suy ra đpcm.

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Ta có:

$VT=\frac{\cos \alpha +sin\alpha }{{\cos }^3\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }.\frac{\cos \alpha +sin\alpha }{\cos \alpha }=(1+{\tan }^2\alpha ).(1+tan\alpha )={\tan }^3\alpha +ta{n}^2\alpha +tan\alpha +1=VP$

Suy ra đpcm.

Dạng 2.3: Rút gọn biểu thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

b. $B={\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x+3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$

Hướng dẫn:

a. Ta có:

b. Ta có:

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Ta có:

3. Bài tập tự luyện

a. Tự luận

Câu 1:

Hướng dẫn:

Câu 2:

Hướng dẫn:

Từ $\sin x+\cos x=\frac{1}{2}$

$\iff \cos x=\frac{1}{2}-\sin x\left(1\right)$

Mặt khác: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\left(2\right)$. Thế (1) vào (2), ta được:

Câu 3:

Hướng dẫn:

Vì $\cos x$ nhận giá trị âm.

Ta có:

$\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{1}{4}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra:

$A=\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3}$

Câu 4:

Hướng dẫn:

Ta có: $A=\frac{{\tan }^{2}a-{\sin }^{2}a}{{\cot }^{2}a-{\cos }^{2}a}$

$\iff A=\frac{{\sin }^{2}a\left(\frac{1}{{\cos }^{2}a}-1\right)}{{\cos }^{2}a\left(\frac{1}{{\sin }^{2}a}-1\right)}=\frac{{\tan }^{2}a.{\tan }^{2}a}{{\cot }^{2}a}=\frac{{\tan }^{4}a}{{\left(\frac{1}{\tan a}\right)}^2}={\tan }^{6}a$

Câu 5:

Hướng dẫn:

Ta có:

Câu 6: Rút gọn biểu thức:

$\begin{array}{l}A=\cos \left(\alpha +26\pi \right)-2\sin \left(\alpha -7\pi \right)\\ -\cos 1,5\pi -\cos \left(\alpha +\frac{2003\pi }{2}\right)\\ +\cos \left(\alpha -1,5\pi \right).\cot \left(\alpha -8\pi \right)\end{array}$

Hướng dẫn:

Câu 7:

Hướng dẫn:

Suy ra đpcm.

Câu 8:

Hướng dẫn:

Ta có:

Câu 9:

Hướng dẫn:

Do $\tan x=2\Rightarrow \cos x\ne 0$. Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho ${\text{cos}}^{3}x$, ta được:

Câu 10: Rút gọn biểu thức $A=\frac{2{\cos }^{2}x-1}{\sin x+\cos x}$.

Hướng dẫn:

Ta có

b. Trắc nghiệm

Câu 1:

A. $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$.

B. $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$.

C. $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x$.

D. $\tan \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cot x$.

Câu 2:

A. $\tan \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=\cot x$.

B. $\sin \left(3\pi -x\right)=\sin x$.

C. $\cos \left(3\pi -x\right)=\cos x$.

D. $\cos \left(-x\right)=\cos x$.

Câu 3:

A. $\sqrt{3}-2$.

B. $\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$.

C. $2-\sqrt{3}$.

D. $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$.

Câu 4:

A. -1.

B. 1.

C. $\frac{-1}{2}$.

D. $\frac{1}{2}$.

Câu 5:

A. ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

B. $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. $\tan \alpha +\cot \alpha =1\left(\alpha \ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right)$.

Đáp án: