Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) và hệ quả (2025) chi tiết nhất

Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) và hệ quả chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp về BĐT Cô-si

- Khái quát: Bất đẳng thức Cosi, hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy, là một trong những bất đẳng thức cơ bản và phổ biến nhất trong toán học, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến bất đẳng thức và cực trị. Bất đẳng thức này được đặt theo tên của nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, một trong những nhà toán học nổi tiếng của thế kỷ 19.

- Định lí: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.

$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\forall a,b\ge 0$

Đẳng thức $\sqrt{ab}=\frac{a+b}{2}$ xảy ra khi và chỉ khi a = b.

II. Các hệ quả của BĐT Cô - si

+ Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

$a+\frac{1}{a}\ge 2$,$\forall a>0$

+ Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích (xy) lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

+ Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng (x + y) nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

III. Các công thức

$\forall x,y>0$ , nếu $(x+y)$ không đổi thì ${(x.y)}_{\max }\iff x=y$.

$\forall x,y>0$ , nếu $(x.y)$ không đổi thì ${(x+y)}_{\min }\iff x=y$.

IV. Ứng dụng của BĐT Cô-si

Bất đẳng thức Cosi, còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy, là một công cụ toán học mạnh mẽ được sử dụng rộng rãi để giải quyết nhiều bài toán khác nhau, đặc biệt trong việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số. Dưới đây là một số ví dụ điển hình về ứng dụng của bất đẳng thức này.

- Giải phương trình và hệ phương trình: Bất đẳng thức Cosi có thể được áp dụng để đơn giản hóa và giải các phương trình hoặc hệ phương trình bằng cách thiết lập mối liên hệ giữa các biến số, từ đó đưa ra các điều kiện cho nghiệm.

- Chứng minh các bất đẳng thức: Trong nhiều trường hợp, bất đẳng thức Cosi được sử dụng để chứng minh một số bất đẳng thức khác. Ví dụ, ta có thể sử dụng nó để chứng minh rằng tổng bình phương của các biến lớn hơn hoặc bằng tích của chúng.

- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức: Bất đẳng thức này cũng rất hữu ích trong việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến các hàm số và các biến số.

Tóm lại, bất đẳng thức Cosi không chỉ là một công cụ lý thuyết mà còn là một phương pháp thiết thực trong việc giải quyết và chứng minh nhiều vấn đề toán học phức tạp. Sự hiểu biết và áp dụng thành thạo bất đẳng thức này có thể mở rộng khả năng giải toán và phân tích toán học của người học.

V. Bài tập về BĐT Cô-si

1. Ví dụ minh họa

Bài 1:

Lời giải:

Khi a, b là số dương $\Rightarrow \frac{a}{b}>0$, $\frac{b}{a}>0$, $\frac{a}{b^2}>0$,$\frac{b}{a^2}>0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Mặt khác ta có:

$2=a^2+b^2\ge 2\sqrt{a^2{b}^2}=2ab$

$\Rightarrow ab\le 1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\ge 4$ (điều cần phải chứng minh)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

Bài 2:

Lời giải:

Vì a, b, c, d là số dương nên ta có: $\frac{a}{b^3}>0$, $\frac{b}{c^3}>0$, $\frac{c}{d^3}>0$,$\frac{d}{a^3}>0$

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:

Lại có, do a, b, c, d dương nên:

(điều cần phải chứng minh).

Bài 3:

a) c + d = 6 luôn không đổi, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (c + d).cd ;

b) c.d = 5 luôn không đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B=\frac{c+d}{c^2{d}^2}$.

Lời giải:

a)

Ta có: A = (c + d).cd = 6cd vì (c + d) = 6 luôn không đổi.

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của A là 54 khi c = d = 3.

b)

Ta có: $B=\frac{c+d}{c^2{d}^2}=\frac{c+d}{5^2}=\frac{c+d}{25}$ vì c.d = 5 luôn không đổi.

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là $\frac{2\sqrt{5}}{25}$ khi c = d = $\sqrt{5}$.

2. Bài tập tự luyện

Bài 1:

Bài 2: