Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập – Toán lớp 10

A. Lí thuyết.

- Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Từ điểm O bất kì vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$, khi đó góc $\widehat{AOB}$ ($0^o\le \widehat{AOB}\le {180}^o$) là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Kí hiệu: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

- Định nghĩa tích vô hướng: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$), khi đó tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ kí hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

- Chú ý:

+) Khi ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng vectơ $\overrightarrow{0}$ ta quy ước: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.

+) Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ (), ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$.

+) Tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}$ được kí hiệu là ${\overrightarrow{a}}^2$ và ta có: ${\overrightarrow{a}}^2={\left.\overrightarrow{a}\right|}^2$.

- Các tính chất của tích vô hướng:

- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Trong mặt phẳng $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2\right)$. Khi đó: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$. Và với hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2\right)$ đều khác $\overrightarrow{0}$ thì $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$.

- Ứng dụng của tích vô hướng:

+) Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)$ được tính theo công thức: $\left.\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$

+) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2\right)$ ( $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$):

$\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$

+) Khoảng cách giữa hai điểm $A\left(x_A;y_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B\right)$ được tính theo công thức:

$AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

B. Các dạng bài.

Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ.

Phương pháp giải:

- Tính tích vô hướng: Phân tích vectơ và đưa hai vectơ về chung gốc để tìm góc giữa hai vectơ hoặc đưa hai vectơ về các vectơ vuông góc. Sau đó, áp dụng công thức định nghĩa, tính chất và hằng đẳng thức để tính tích vô hướng của hai vectơ. Đối với hai vectơ biết tọa độ thì tính theo công thức $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$

- Tính góc giữa hai vectơ: Phân tích vectơ và đưa hai vectơ về chung gốc để tìm góc giữa hai vectơ hoặc dùng công thức: $\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Lời giải:

Vì tam giác ABC đều nên ta có: $\widehat{BAC}={60}^o$$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}={60}^o$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left.\overrightarrow{AB}\right|.\left.\overrightarrow{AC}\right|.\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos {60}^o=2a.2a.\frac{1}{2}=2a^2$

Vì AH là đường cao nên ta có:

$AH\perp BC\Rightarrow \overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$

Bài 2:

Lời giải:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có: BC // AD và BC = AD$\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}={90}^o$ ( do ABCD là hình chữ nhật )

Xét tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2={\left(2a\right)}^2+a^2=5a^2\Rightarrow AC=\sqrt{5a^2}=a\sqrt{5}$

Áp dụng công thức tính góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ta có:

$\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left.\overrightarrow{AB}\right|.\left.\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC}=\frac{a^2\sqrt{15}}{2a.a\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})={30}^o$

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ.

Phương pháp giải:

Phân tích vectơ để biến phép tính độ dài đoạn thẳng thành phép tính tích vô hướng, áp dụng công thức $A{B}^2={\left.\overrightarrow{AB}\right|}^2={\overrightarrow{AB}}^2$. Nếu đề bài có liên quan đến tọa độ thì áp dụng công thức: $\left.\overrightarrow{AB}\right|=AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow {\overrightarrow{BC}}^2={\overrightarrow{AC}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^2$

Ta có: ${\overrightarrow{AC}}^2={\left.\overrightarrow{AC}\right|}^2=A{C}^2={\left(2a\right)}^2=4a^2$;

${\overrightarrow{AB}}^2={\left.\overrightarrow{AB}\right|}^2=A{B}^2=a^2$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\left.\overrightarrow{AC}\right|.\left.\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=AC.AB.\cos \widehat{BAC}=2a.a.\cos {60}^o=2a.a.\frac{1}{2}=a^2\Rightarrow {\overrightarrow{BC}}^2=4a^2-2.a^2+a^2=3a^2\Rightarrow B{C}^2={\left.\overrightarrow{BC}\right|}^2={\overrightarrow{BC}}^2=3a^2\Rightarrow BC=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$

Bài 2:

Lời giải:

Độ dài đoạn thẳng AB chính là khoảng cách giữa hai điểm A và B.

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A (4;5) và B (2;3) ta có:

$AB=\sqrt{{(2-4)}^2+{(3-5)}^2}=\sqrt{{(-2)}^2+{(-2)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Dạng 3: Chứng minh vuông góc.

Phương pháp giải:

Dùng tích chất của tích vô hướng để chứng minh vuông góc:

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff \left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0\iff \begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\\ \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0\end{array}$

Hoặc dùng công thức về tọa độ: $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Lời giải

Từ C vẽ CE sao cho CE = BD và CE // BD.

Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CE}$

Xét hình vuông ABCD có $\widehat{ACD}=\widehat{CBD}={45}^o$

Xét hình bình hành BCED có: $\widehat{CED}=\widehat{CBD}={45}^o$ (hai góc đối)

Ta có AD cắt CE tại E. Có $\widehat{ADC}={90}^o$ vì ABCD là hình vuông

$\Rightarrow \widehat{CDE}={90}^o$

Xét tam giác CDE vuông tại D có: $\widehat{CED}={45}^o$

$\Rightarrow \widehat{ECD}={90}^o-{45}^o={45}^o$

Từ đó ta có : $\widehat{ACD}+\widehat{DCE}={45}^o+{45}^o={90}^o\Rightarrow \widehat{ACE}={90}^o$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CE}\right)={90}^o\Rightarrow \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BD}\right)={90}^o$ ( do $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CE}$ )

Khi đó ta có:

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=\left.\overrightarrow{CA}\right|.\left.\overrightarrow{BD}\right|.\cos (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BD})=CA.BD.\cos {90}^o=CA.BD.0=0\Rightarrow \overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{BD}\Rightarrow CA\perp BD$

Vậy hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Bài 2:

Lời giải:

( điều cần phải chứng minh )

Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa và tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phân tích, biến đổi vectơ, các công thức về độ dài vectơ để biến đổi sao cho hai vế bằng nhau hoặc từ giả thiết suy ra một biểu thức luôn đúng đã được công nhận. Để chứng minh $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ta có thể chứng minh tích vô hướng của $\overrightarrow{v}$ với hai vectơ khác không cùng phương bằng 0.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Lời giải:

Ta có:

( điều cần phải chứng minh )

Bài 2:

Lời giải:

Ta có:

(điều cần phải chứng minh)

Dạng 5: Các bài toán liên quan đến biểu thức tọa độ.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức, tính chất của tích vô hướng liên quan đến tọa độ để giải quyết các yêu cầu của đề bài.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Lời giải:

Gọi vectơ $\overrightarrow{b}=(x;y)$.

Vì vectơ $\overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{a}$ nên ta có : $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$ ($k\in ℝ$)

$\Rightarrow \begin{array}{l}x=k.(-1)\\ y=k.2\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x=-k\\ y=2k\end{array}$

Áp dụng công thức tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$ ta có:

Bài 2:

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1.x+3.1=3+x$

$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\iff 3+x=0$

$\Rightarrow x=-3$

Vậy khi x = -3 thì $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$.

Dạng 6: Tìm tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa, tính chất, các công thức của tích vô hướng liên quan đến tọa độ, các quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm để tính tọa độ điểm đặc biệt. Ta có:

- Trung điểm I (x;y) của đoạn thẳng AB với $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$: $x=\frac{x_A+x_B}{2};y=\frac{y_A+y_B}{2}$

- Trọng tâm G (x;y) của tam giác ABC với $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ và $C(x_C;y_C)$:

$x=\frac{x_A+x_B+x_C}{3};y=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$

- Trực tâm H (x;y) của tam giác ABC, ta có: $\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}$

Giải hệ trên ta tìm được x, y.

- Chân đường cao K (x;y) vẽ từ đỉnh A, ta có: $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BC}=0$ (1) và $\overrightarrow{BK}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ (2) ( do B, K, C thẳng hàng) . Từ hai điều kiện (1), (2) lập phương trình để tìm ra x, y.

- Tâm đường tròn ngoại tiếp I (x;y) của tam giác ABC. Nếu tam giác ABC vuông tại A thì I là trung điểm của BC. Nếu tam giác ABC đều thì I là trọng tâm. Nếu tam giác ABC là tam giác thường thì có theo hệ $\begin{array}{l}IA=IB\\ IA=IC\end{array}$ hoặc gọi M, N là trung điểm của BC và AC, có hệ $\begin{array}{l}\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{IN}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}$. Từ hệ phương trình tìm được x, y.

- Điểm D (x;y) là chân đường phân giác trong của góc A, ta có: $\overrightarrow{DB}=-\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{DC}$

- Điểm E (x;y) là chân đường phân giác ngoài của góc A, ta có:$\overrightarrow{EB}=\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{EC}$

- Tâm đường tròn nội tiếp K (x;y) của tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$, $C(x_C;y_C)$. Tìm điểm D là chân đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. Lúc đó điểm K là chân đường phân giác trong của góc B của tam giác ABD. Hoặc dùng công thức: $x_K=\frac{a{x}_A+b{x}_B+c{x}_C}{a+b+c};y_K=\frac{a{y}_A+b{y}_B+c{y}_C}{a+b+c}$. ( đối với bài toán trắc nghiệm )

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Lời giải:

Gọi K (x;y) là tâm đường tròn nội tiếp và $D(x_D;y_D)$ là chân đường phân giác trong của góc A trong tam giác ABC.

Xét tam giác ABC, ta có:

Áp dụng công thức về chân đường phân giác trong ta có:

Xét tam giác ABD ta có:

Áp dụng công thức về chân đường phân giác trong ta có:

Ta có:

$\Rightarrow$Tam giác ABC vuông tại A.

$\Rightarrow$ Tâm đường tròn ngoại tiếp tức điểm O là trung điểm của BC.

Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm ta có:

Bài 2:

Lời giải:

Gọi điểm M $\left(x_M;y_M\right)$ là trung điểm của AB.

Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta có:

Gọi trực tâm H = (x;y) là giao điểm của 3 đường cao thuộc tam giác ABC.

Ta có:

Gọi điểm là trọng tâm tam giác ABC.

Áp dụng công thức tính trọng tâm tam giác ta có:

Dạng 7: Các bài toán liên quan đến dạng tam giác, tứ giác.

Phương pháp giải:

- Dạng chứng minh:

+) Chứng minh tam giác ABC cân tại A: Ta cần tính độ dài AB, AC, sau đó chứng minh AB = AC.

+) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A: Tính độ dài AB, AC, BC và chứng minh $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$. Hoặc tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ và chứng minh nó bằng 0.

+) Chứng minh tam giác ABC vuông cân tại A: Ta cần chứng minh:

$\begin{array}{l}AB=AC\\ A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\end{array}$ hoặc $\begin{array}{l}AB=AC\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}$

+) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành: Tính độ dài AB, DC và chứng minh $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

+) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi: Tính AB, BC, CD, DA và chứng minh AB = BC = CD = DA .

+) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật: Ta cần chứng minh ABCD là hình bình hành có 1 góc vuông hoặc chứng minh ABCD là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

+) Chứng minh tứ giác ABCD là hình vuông: Ta cần chứng minh ABCD là hình thoi có 1 góc vuông hoặc chứng minh ABCD là hình bình hành có 1 góc vuông và hai cạnh liên tiếp bằng nhau.

+) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang. Chứng minh$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}$ cùng phương. Nếu chứng minh hình thang vuông thì chứng minh thêm 1 góc vuông. Nếu chứng minh hình thang cân thì chứng minh thêm 2 đường chéo bằng nhau.

+) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp: Chứng minh các góc vuông cần thiết bằng cách áp dụng tích vô hướng và suy ra tứ giác nội tiếp.

- Dạng tìm tọa độ điểm:

+) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung (hoặc trục hoành) để tam giác MAB vuông tại M với A, B cho trước. Nếu $M\in Ox\Rightarrow M(x;0)$ và nếu $M\in Oy\Rightarrow M(0;y)$. Tính tọa độ $\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$, tìm x hoặc y sao cho $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$.

+) Tìm tọa độ điểm N thuộc trục tung (hoặc hoành) để tam giác MAB cân tại M và A, B là hai điểm cho trước. Nếu $N\in Ox\Rightarrow N(x;0)$ và nếu $N\in Oy\Rightarrow N(0;y)$. Tính độ dài NA, NB và tìm x hoặc y sao cho NA = NB. ( loại tọa độ N ứng với trung điểm của AB ).

+) Tìm tọa độ điểm P thuộc trục tung (hoặc hoành) để P, A, B thẳng hàng và A, B là hai điểm cho trước. Nếu $P\in Ox\Rightarrow P(x;0)$ và nếu $P\in Oy\Rightarrow P(0;y)$. Tìm x hoặc y sao cho $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}$ cùng phương.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Lời giải:

Ta có:

Xét hình bình hành ABCD có: $\widehat{BAD}={90}^o$

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật ( điều cần phải chứng minh )

Bài 2:

Lời giải:

M thuộc trung tung nên ta gọi M = (0;y).

Ta có:

$\overrightarrow{AM}=(3;y-3);\overrightarrow{BM}=(-4;y-4)\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=3.(-4)+(y-3).(y-4)=y^2-7y$

Tam giác MAB vuông tại M

$\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0\iff y^2-7y=0\Rightarrow y(y-7)=0\iff \begin{array}{l}y=0\\ y=7\end{array}$

Vậy ta tìm được 2 điểm M thỏa mãn là M (0;0) hoặc M (0;7).

Dạng 8: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học.

Phương pháp giải:

- Tìm điểm $M\in d$ sao cho MA + MB nhỏ nhất.

+) Khi A và B nằm khác phía đối với d. Tìm tọa độ tổng quát của M. Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác, ta có: $MA+MB\ge AB$, dấu “=” xảy ra $\iff$ M, A, B thẳng hàng, từ đó tìm tọa độ M thích hợp.

+) Khi A và B nằm cùng phía với d. Tìm tọa độ tổng quát của M. Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với A qua d. Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác: $MA\text{'}+MB\ge A\text{'}B\iff MA+MB\ge A\text{'}B$. Dấu “=” xảy ra $\iff$ M, A’, B thẳng hàng, từ đó tìm tọa độ M thích hợp.

- Tìm điểm $M\in d$ sao cho $\left.MA-MB\right|$ lớn nhất.

+) Khi A, B cùng phía đối với d: Tìm tọa độ tổng quát của M. Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác, ta có: $\left.MA-MB\right|\le AB$, dấu “=” xảy ra $\iff$M, A, B thẳng hàng, từ đó tìm tọa độ M thích hợp.

+) Khi A và B nằm khác phía với d. Tìm tọa độ tổng quát của M. Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với A qua d. Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác: $\left.MA\text{'}-MB\right|\le A\text{'}B\iff \left.MA-MB\right|\le A\text{'}B$. Dấu “=” xảy ra $\iff$ M, A’, B thẳng hàng, từ đó tìm tọa độ M thích hợp.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Lời giải:

P thuộc trục hoành nên ta gọi P (x;0). A và B nằm về hai phía của trục hoành.

$\overrightarrow{PA}=(1-x;1)\overrightarrow{PB}=(2-x;-4)$

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:

$PA+PB\ge AB$

$\Rightarrow$ PA + PB nhỏ nhất khi dấu “=” xảy ra.

$\Rightarrow$P, A, B thẳng hàng

$\Rightarrow \overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB}$ cùng phương

$\Rightarrow \frac{1-x}{2-x}=\frac{1}{-4}\iff -4+4x=2-x\iff x=\frac{6}{5}\Rightarrow P\left(\frac{6}{5};0\right)$

Bài 2:

Lời giải:

Điểm M là điểm thuộc đường thẳng d: y = -x nên ta gọi M = (x; -x).

Có A, B nằm về 2 phía của đường thẳng d. Gọi A’ ($x_{A\text{'}};y_{A\text{'}}$) là điểm đối xứng của A qua d.

Chọn điểm K (2;-2) thuộc đường thẳng d và H $(x_H;-x_H)$ là chân đường vuông góc hạ từ A xuống d nên ta có: $AH\perp HK\Rightarrow \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HK}=0$.

Ta có:

$\overrightarrow{HA}=(1-x_H;1+x_H)\overrightarrow{HK}=(2-x_H;-2+x_H)\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HK}=0\Rightarrow (1-x_H)(2-x_H)+(1+x_H)(-2+x_H)=0\iff 2x^2-4x=0\iff \begin{array}{l}{x}_H=0\\ x_H=2\end{array}$

Loại x = 2 vì khi đó H trùng với K. Vậy ta chọn H (0;0).

Khi đó, H là trung điểm của AA’ nên ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1+x_{A\text{'}}}{2}=0\\ \frac{1+y_{A\text{'}}}{2}=0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_{A\text{'}}=-1\\ y_{A\text{'}}=-1\end{array}A’(-1;-1)$

Ta có:

$\overrightarrow{MA\text{'}}=(-1-x;-1+x)\overrightarrow{MB}=(-2-x;-4+x)$

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:

$\left.MA\text{'}-MB\right|\le A\text{'}B\iff \left.MA-MB\right|\le A\text{'}B$

$\Rightarrow \left.MA-MB\right|$ lớn nhất khi và chỉ khi dấu “=” xảy ra.

$\Rightarrow \left.MA\text{'}-MB\right|=A\text{'}B$

$\Rightarrow$ M, A’, B thẳng hàng.

$\Rightarrow \overrightarrow{MA\text{'}},\overrightarrow{MB}$ cùng phương.

$\Rightarrow \frac{-1-x}{-2-x}=\frac{-1+x}{-4+x}4+3x-x^2=2-x+x^2\iff x=\frac{-1}{2}\Rightarrow M\left(\frac{-1}{2};\frac{1}{2}\right)$

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1:

Đáp án:

Bài 2:

Đáp án:

Bài 3:

Đáp án:

Bài 4:

Đáp án:

Bài 5:

Đáp án: $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow BA\perp BC\Rightarrow$ tam giác ABC vuông tại B.

Bài 6:

Đáp án:

Bài 7:

Đáp án:

$VP=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD})={\overrightarrow{MA}}^2+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=VT$

Bài 8:

Đáp án:

$VT=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)=M{O}^2+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=O{M}^2-O{A}^2=VP$

Bài 9:

Đáp án:

Bài 10:

Đáp án:

Bài 11:

Đáp án:

Bài 12:

Đáp án:

Bài 13:

Đáp án: Có A,B,C không thẳng hàng và $\Rightarrow \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow$ Tam giác ABC vuông tại B

Bài 14:

Đáp án: M (1;2)

Bài 15:

Đáp án: