Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng hay và chi tiết nhất - Toán lớp 10

Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng hay và chi tiết nhất- Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Hai đường thẳng d và d’ có các vị trí tương đối như sau:

+ d song song với d’, tức là d và d’ không có điểm chung

+ d cắt d’tại duy nhất một điểm, tức là d và d’ có duy nhất một điểm chung

+ d trùng với d’, tức là d và d’ có vô số điểm chung

II. Các công thức.

- Cách 1: Cho hai đường thẳng d: $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$và d’: $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$

($a_1,b_1,c_1\ne 0$). Vị trí tương đối của hai đường thẳng được xác định như sau:

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{c_2}{c_1}\iff d\equiv d\text{'}$

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}\ne \frac{c_2}{c_1}\iff d//d\text{'}$

$\frac{a_2}{a_1}\ne \frac{b_2}{b_1}\iff d\cap d\text{'}$

- Cách 2: Cho hai đường thẳng d: $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$và d’: $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$. Vị trí tương đối của hai đường thẳng được xác định qua hệ phương trình: $\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}$(1)

+ Nếu hệ phương trình (1) có vô số nghiệm thì $d\equiv d\text{'}$

+ Nếu hệ phương trình (1) vô nghiệm thì d // d’

+ Nếu hệ phương trình (1) có duy nhất một nghiệm thì d cắt d’ tại điểm có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình.

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và đường thẳngd’: 3x – y + 5 = 0.

Lời giải:

Xét hai đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và d’: 3x – y + 5 = 0 có:

$\frac{3}{3}=\frac{-1}{-1}\ne \frac{5}{2}$

$\Rightarrow$ d song song với d’.

Bài 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 3x + 5y + 4 = 0 và đường thẳng d’: 6x + 10y + 8 = 0

Lời giải:

Xét hai đường thẳng d: 3x + 5y + 4 = 0 và đường thẳng d’: 6x + 10y + 8 = 0

Ta có: $\frac{6}{3}=\frac{10}{5}=\frac{8}{4}=2$

$\Rightarrow$ d trùng với d’.

Bài 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 và d’: 2x – 3y + 2 = 0. Nếu chúng cắt nhau, hãy tìm tọa độ giao điểm.

Lời giải:

Xét hệ phương trình: 

$\begin{array}{l}2x-3y+2=0\\ x-2y+1=0\end{array}\iff \begin{array}{l}2x-3y=-2\\ x-2y=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (-1; 0) nên d cắt d’ tại điểm duy nhất có tọa độ là (-1; 0).

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và đường thẳng d’: 6x – 2y + 7 = 0.

Bài 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 4x – 5y + 1 = 0 và đường thẳng d’: 2x – 2y + 1 = 0. Nếu chúng cắt nhau, hãy tìm tọa độ giao điểm.