Công thức tính độ dài đường trung tuyến (2024) chi tiết nhất

Công thức tính độ dài đường trung tuyến chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổng hợp.

- Đường trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện.

- Các đường trung tuyến của tam giác giao nhau tại trọng tâm của tam giác.

- Trong tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC thì đường trung tuyến AM cũng là đường cao, đường phân giác và đường trung trực.

- Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

- Độ dài đường trung tuyến: Gọi $m_a,m_b,m_c$ là độ dài đường trung tuyến lần lượt vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC, ta có:

II. Các công thức.

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC ta có: $AM=\frac{1}{2}BC$.

Gọi $m_a,m_b,m_c$ là độ dài đường trung tuyến lần lượt vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC, ta có:

(với G là trọng tâm của tam giác ABC).

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1:

Lời giải:

Các điểm M, N, P lần lượt là là trung điểm của BC, AB, AC.

$\Rightarrow$ AM, BP, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Xét tam giác ABC ta có:

Bài 2:

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

M là trung điểm của BC$\Rightarrow$ AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.

$\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.10=5$ (cm)

Bài 3:

Lời giải:

Xét tam giác ABC có trọng tâm G ta có:

N là trung điểm BC $\Rightarrow$ CN là đường trung tuyến, điểm G nằm trên CN

Ta có:$CG=\frac{2}{3}CN$

$\Rightarrow CN=\frac{3}{2}CG=\frac{3}{2}.4=6$ (cm)

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1. Tam giác ABC có AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

Hướng dẫn giải:

Ta có tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến suy ra AM là đường cao, đường phân giác của tam giác ABC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$BC = 6 cm

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AMC có:

AC² = AM² + MC² $\Rightarrow AM=\sqrt{A{C}^2-M{C}^2}$ = 8 cm

Bài 2. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC có góc $\widehat{BAC}=120°$, AB = 4 cm, AC = 6 cm

Hướng dẫn giải:

Ta có BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos120^o

$\Rightarrow BC=2\sqrt{9}$

$\Rightarrow A{M}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4}$

$\Rightarrow AM=\sqrt{7}$

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. Tính độ dài cạnh AB.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến nên AM = BM = MC = 6

Suy ra BC = 12

Mặt khác:

Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17 cm, BC= 16 cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Hướng dẫn giải:

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM vuông góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pythagore ta có: AC² = AM² + MC² hay 17² = AM² + 8².

Suy ra AM² = 17² – 8² = 225.

Do đó AM = 15 cm.

Bài 5.Cho tam giác MNP cân ở M có MB = MC = 17 cm, NP= 16 cm. Kẻ trung tuyến MI.

a) Chứng minh: MI ⊥ NP;

b) Tính độ dài MI.

Hướng dẫn giải:

a) Do MI là đường trung tuyến MNP nên IP = IN.

Mặt khác tam giác MNP cân tại M.

Do đó MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao hay MI ⊥ NP.

b) Ta có:

• NP = 16 cm nên NI = PI = 8 cm.

• MN = MP = 17 cm.

Xét tam giác MIP vuông tại I

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

• MP² = MI² + IP² hay 19² = MI² + 8²

• MI² = 17² – 8² = 225 suy ra MI = 15 cm.