Công thức tìm điểm đối xứng qua đường thẳng hay và chi tiết - Toán lớp 10

Công thức tìm điểm đối xứng qua đường thẳng hay và chi tiết- Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Đường trung trực: Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

- Điểm A và B đối xứng qua đường thẳng d khi và chỉ khi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

II. Các công thức.

- Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0, điểm $A(x_A;y_A)$không thuộc d. Tìm điểm $B(x_B;y_B)$là điểm đối xứng với A qua d, cách làm như sau:

+ Tìm điểm $H(x_H;y_H)$là hình chiếu vuông góc của A lên d:

Vì $H\in d\Rightarrow a{x}_H+b{y}_H+c=0$(1)

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$

$AH\perp d\Rightarrow \overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{u}$ 

$\Rightarrow b(x_H-x_A)-a(y_H-y_A)=0$ (2)

Giải hệ (1) và (2) ta được tọa độ điểm H.

+ Biết H là trung điểm của AB, từ đó tìm ra tọa độ của B:

$x_B=2x_H-x_A$

$y_B=2y_H-y_A$

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho đường thẳng d: x - y = 0 và điểm A(1; 3). Tìm điểm đối xứng với A qua d.

Lời giải:

Dễ thấy điểm A không thuộc đường thẳng d

Gọi điểm đối xứng với A qua d là A’(x’; y’)

Gọi $H(x_0;y_0)$là hình chiếu của điểm A trên đường đường thẳng d.

Ta có: $H\in d\Rightarrow x_0-y_0=0\Rightarrow x_0=y_0$(1)

Mặt khác: Vectơ pháp tuyến của d là  $\overrightarrow{n}=(1;-1)\Rightarrow$Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(1;1)$

Có $\overrightarrow{u}=(1;1)$

$AH\perp d\Rightarrow \overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{u}$

$\Rightarrow 1(x_0-1)+1(y_0-3)=0$

$\iff x_0+y_0-4=0$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 2x_0=4\iff x_0=2$

$\Rightarrow x_0=y_0=2\Rightarrow H(2;2)$

Có H là trung điểm của AA’ nên: 

$\begin{array}{l}x\text{'}=2.2-1\\ y\text{'}=2.2-3\end{array}\iff \begin{array}{l}x\text{'}=3\\ y\text{'}=1\end{array}\Rightarrow A\text{'}(3;1)$

Bài 2: Cho điểm M(2; -3). Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳngd: -2x + y = 0.

Lời giải:

Dễ thấy điểm M không thuộc đường thẳng d

Gọi điểm đối xứng với M qua d là M’(x’; y’)

Gọi $H(x_0;y_0)$là hình chiếu của điểm M trên đường đường thẳng d.

Ta có: $H\in d\Rightarrow -2x_0+y_0=0$(1)

Mặt khác: Vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(-2;1)$

$\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(1;2)$

Có $MH\perp d\Rightarrow \overrightarrow{MH}\perp \overrightarrow{u}$

$\Rightarrow 1(x_0-2)+2(y_0+3)=0$

$\iff x_0+2y_0=-4$ (2)

Từ (1) và (2) 

$\Rightarrow \begin{array}{l}-2x_0+y_0=0\\ x_0+2y_0=-4\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_0=\frac{-4}{5}\\ y_0=\frac{-8}{5}\end{array}$

$\Rightarrow H(\frac{-4}{5};\frac{-8}{5})$

Có H là trung điểm của MM’ nên: 

$\begin{array}{l}x\text{'}=2.\frac{-4}{5}-2\\ y\text{'}=2.\frac{-8}{5}+3\end{array}\iff \begin{array}{l}x\text{'}=\frac{-18}{5}\\ y\text{'}=-\frac{1}{5}\end{array}\Rightarrow M\text{'}(\frac{-18}{5};-\frac{1}{5})$

Bài 3: Cho điểm B(1; 4). Điểm B’ đối xứng với B qua d: 4x – 5y + 1 = 0. Tìm B’.

Lời giải:

Dễ thấy điểm B không thuộc vào đường thẳng d.

Gọi điểm đối xứng với B qua d là B’(x’; y’)

Gọi $H(x_0;y_0)$là hình chiếu của điểm B trên đường đường thẳng d.

Ta có: $H\in d\Rightarrow 4x_0-5y_0=-1$(1)

Mặt khác: Vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(4;-5)$

$\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(5;4)$

Có $BH\perp d\Rightarrow \overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{u}$

$\Rightarrow 5(x_0-1)+4(y_0-4)=0$

$\iff 5x_0+4y_0=21$ (2)

Từ (1) và (2) 

$\Rightarrow \begin{array}{l}4x_0-5y_0=-1\\ 5x_0+4y_0=21\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_0=\frac{101}{41}\\ y_0=\frac{89}{41}\end{array}\Rightarrow H(\frac{101}{41};\frac{89}{41})$

Có H là trung điểm của BB’ nên: 

$\begin{array}{l}x\text{'}=2.\frac{101}{41}-1\\ y\text{'}=2.\frac{89}{41}-4\end{array}\iff \begin{array}{l}x\text{'}=\frac{161}{41}\\ y\text{'}=\frac{14}{41}\end{array}\Rightarrow B\text{'}(\frac{161}{41};\frac{14}{41})$

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho đường thẳng d: 4x – 2y + 1 = 0 và điểm A(1; 2). Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.

Bài 2: Cho đường thẳng d: 4x + 1 = 0 và điểm B(1; 0). Tìm điểm B’ đối xứng với B qua d.