Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng - Toán lớp 10

Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng- Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương hoặc một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$. Phương trình đường tham số của đường thẳng d là: $\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$(tham số t) với $a^2+b^2\ne 0$.

- Cho đường thẳng d đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b)$, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d được viết dưới dạng:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

$\iff ax+by+c=0$ ($c=-a{x}_0-b{y}_0$)

II. Các công thức.

- Công thức chuyển đổi từ phương trình tổng quát thành phương trình tham số của đường thẳng:

Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0

+ Dựa vào phương trình tổng quát, ta xác định một điểm $M_0(x_0;y_0)$thuộc đường thẳng d

+ Dựa vào phương trình tổng quát, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b)$nên ta có vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(-b;a)$hoặc $\overrightarrow{u}=(b;-a)$

+ Viết phương trình tham số của d có dạng: $\begin{array}{l}x=x_0-bt\\ y=y_0+at\end{array}$hoặc $\begin{array}{l}x=x_0+bt\\ y=y_0-at\end{array}$

- Công thức chuyển đổi từ phương trình tham số thành phương trình tổng quát của đường thẳng:

Cho đường thẳng d: $\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$

+ Dựa vào phương trình tham số, ta xác định được điểm $M_0(x_0;y_0)$thuộc đường thẳng d

+ Dựa vào phương trình tham số, đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$nên ta có vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(-b;a)$hoặc $\overrightarrow{n}=(b;-a)$

+ Viết phương trình tổng quát của d dưới dạng:

$-b(x-x_0)+a(y-y_0)=0$

Hoặc

$b(x-x_0)-a(y-y_0)=0$

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0

Ta có:

Điểm A(1; 2) thuộc đường thẳng d do 3.1 – 2.2 + 1 = 0

Vectơ pháp tuyến của d là  $\overrightarrow{n}=(3;-2)\Rightarrow$Vectơ chỉ phương của d là: $\overrightarrow{u}=(2;3)$

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+3t\end{array}$

Bài 2: Cho đường thẳng d: 4x + 4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 4x + 4 = 0

Ta có:

Điểm B(-1; 3) thuộc đường thẳng d do 4.(-1) + 4 = 0

(có thể lấy tung độ bất kì vì phương trình đường thẳng d không phụ thuộc tung độ y)

Vectơ pháp tuyến của d là  $\overrightarrow{n}=(4;0)\Rightarrow$Vectơ chỉ phương của d là: $\overrightarrow{u}=(0;-4)$

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\begin{array}{l}x=-1\\ y=3-4t\end{array}$

Bài 3: Cho đường thẳng d: $\begin{array}{l}x=-1+4t\\ y=3-2t\end{array}$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: $\begin{array}{l}x=-1+4t\\ y=3-2t\end{array}$.

Ta có:

Điểm C(-1; 3) thuộc vào đường thẳng d dựa vào phương trình tham số. (cho t = 0 thay vào phương trình tham số của d, ta tìm được tọa độ C)

Vectơ chỉ phương của d là  $\overrightarrow{u}=(4;-2)\Rightarrow$Vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(2;4)$

Phương trình tổng quát của d là:

2(x + 1) + 4(y – 3)= 0

$\iff$ 2x + 4y – 10 = 0

$\iff$x + 2y – 5 = 0

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho đường thẳng d: $\begin{array}{l}x=2-t\\ y=1+2t\end{array}$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Bài 2: Cho đường thẳng d: 4x – y = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.