Dấu của tam thức bậc hai (2024) chi tiết nhất

Dấu của tam thức bậc hai chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổng hợp.

- Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, trong đó a, b, c gọi là các hệ số và $a\ne 0$.

- Dấu của tam thức bậc hai: Cho $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$), $\Delta =b^2-4ac$ (biệt thức của tam thức bậc hai), ta có:

+ Nếu $\Delta$< 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi số thực x

+ Nếu $\Delta$= 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a và bằng 0 khi

+ Nếu $\Delta$> 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi $x<x_1$ hoặc $x>x_2$, trái dấu với hệ số a khi $x_1<x<x_2$, trong đó $x_1,x_2(x_1<x_2)$ là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0.

- Chú ý: Có thể thay $\Delta =b^2-4ac$ bằng $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac$ với $b\text{'}=\frac{b}{2}$

II. Các công thức.

Cho $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$), $\Delta =b^2-4ac$ ($\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac$ với $b\text{'}=\frac{b}{2}$)

+) Nếu $\Delta$< 0 thì với $\forall x\in ℝ$

$a>0\Rightarrow f\left(x\right)>0a<0\Rightarrow f\left(x\right)<0$

+) Nếu $\Delta$ thì

$a<0\Rightarrow f\left(x\right)<0\forall x\in ℝ\backslash \left.\frac{-b}{2a}\right\}a>0\Rightarrow f\left(x\right)>0\forall x\in ℝ\backslash \left.\frac{-b}{2a}\right\}x=\frac{-b}{2a}\iff f\left(x\right)=0$

+) Nếu $\Delta$ và $f\left(x\right)=0\iff \begin{array}{l}x=x_1\\ x=x_2\end{array}$ $(x_1<x_2)$ thì

$a<0\Rightarrow \begin{array}{l}f\left(x\right)<0\forall x\in \left(-\infty ;x_1\right)\cup \left(x_2;+\infty \right)\\ f\left(x\right)>0\forall x\in \left(x_1;x_2\right)\end{array}a>0\Rightarrow \begin{array}{l}f\left(x\right)>0\forall x\in \left(-\infty ;x_1\right)\cup \left(x_2;+\infty \right)\\ f\left(x\right)<0\forall x\in \left(x_1;x_2\right)\end{array}$

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1:

Lời giải:

Xét f(x) = $5x^2-3x+1$

Ta có: $\Delta ={(-3)}^2-\mathrm{4.5.1}=-11<0$

Và hệ số a = 5 > 0 nên ta có: f(x) = $5x^2-3x+1$ > 0 $\forall x\in ℝ$.

Bài 2:

Lời giải:

Xét f(x) = $x^2-4x-5$

Ta có: $\Delta \text{'}={(-2)}^2-1.(-5)=9>0$

Nghiệm của f(x) = 0 là:

$x_1=\frac{-(-2)+\sqrt{9}}{1}=5$ ,

$x_2=\frac{-(-2)-\sqrt{9}}{1}=-1$

Có hệ số a = 1 > 0 nên ta có:

f(x) = $x^2-4x-5$ > 0 khi $x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(5;+\infty \right)$

f(x) = $x^2-4x-5$< 0 khi $x\in \left(-1;5\right)$.

Bài 3:

Lời giải:

Xét f(x) = $x^2-2x+1$

Ta có: $\Delta ={(-2)}^2-\mathrm{4.1.1}=0$

Và hệ số a = 1 > 0 nên ta có: Nghiệm $x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2.1}=1$

f(x) = $x^2-2x+1$ > 0 khi $x\in ℝ\backslash \left.1\right\}$

f(x) = $x^2-2x+1$ = 0 khi x = 1

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1:

Bài 2: