Hàm số bậc hai và cách giải các dạng bài tập (2024) hay nhất

Phương pháp giải hàm số bậc hai và các dạng bài tập hay nhất

1. Lý thuyết

Xét hàm số $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$:

+) Tập xác định: $D=ℝ$.

+) Đồ thị:

Đồ thị $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ là 1 parabol (P) có:

- Đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$ với $\Delta =b^2-4ac$.

- Trục đối xứng:$x=-\frac{b}{2a}\cdot$

- Với a > 0 parabol có bề lõm quay lên trên.

- Với a < 0 parabol có bề lõm quay xuống dưới.

+) Sự biến thiên:

Với a > 0, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$. Ta có bảng biến thiên:

Với a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$. Ta có bảng biến thiên:

2. Các dạng bài tập

Dạng 3.1: Xác định hệ số a, b, c của hàm số bậc hai

a. Phương pháp giải:

* Giả sử hàm số cần tìm có dạng $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$. Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b, c từ đó suy ra hàm số cần tìm.

* Một số kiến thức cần nhớ:

- Một điểm $(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi $y_0=f\left(x_0\right)$.

- Đồ thị hàm số có đỉnh là $I(x_1;y_1)$

$\iff \begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=x_1\\ y_1=a{\text{x}}_1^2+b{x}_1+c(hay{y}_1=-\frac{\Delta }{4a})\end{array}$

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc hai có đồ thị là parabol (P). Tìm hàm số đó biết:

a. (P) đi qua A(8; 0) và có đỉnh I(6; -12)

b. (P) có đỉnh I(2; 0) và cắt trục Oy tại điểm M(0; -1).

Hướng dẫn:

a. Giả sử hàm số bậc hai cần tìm có dạng: $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$

Do (P) có đỉnh I(6; -12) nên ta có: $-\frac{b}{2a}=6\iff 12a+b=0$(1)

(P) đi qua A(8; 0) và I(6; -12) nên ta có:

$\begin{array}{l}0=a{.8}^2+b.8+c\\ -12=a{.6}^2+b.6+c\end{array}\iff \begin{array}{l}64a+8b+c=0\\ 36a+6b+c=-12\end{array}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có :

$\begin{array}{l}12a+b=0\\ 36a+6b+c=-12\\ 64a+8b+c=0\end{array}\iff \begin{array}{l}a=3\\ b=-36\\ c=96\end{array}$

Vậy hàm số cần tìm là :$y=3x^2-36x+96$

b. Giả sử hàm số bậc hai cần tìm có dạng: $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$

Theo bài ra, (P) có đỉnh $I\left(2;0\right)$

$\Rightarrow \begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=2\\ -\frac{\Delta }{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=0\end{array}\iff \begin{array}{l}b=-4a\\ b^2=4ac\end{array}\left(1\right)$

Lại có (P) cắt Oy tại điểm $M\left(0;-1\right)$ suy ra $y\left(0\right)=-1\iff c=-1$ (2)

Từ (1), (2) suy ra:

$\begin{array}{l}b=-4a\\ b^2=4ac\\ c=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}b=-4a\\ b^2=-4a\\ c=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}b=-4a\\ b^2=b\\ c=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}b=-4a\\ b(b-1)=0\\ c=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}a=-\frac{1}{4}\\ b=1\\ c=-1\end{array}$

(vì với $b=0\Rightarrow a=0$ loại)

Vậy hàm số cần tìm là :$y=-\frac{1}{4}{x}^2+x-1$.

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Với $m\ne 0$ thì $\left(P\right):y=m{x}^2+2mx+m^2+2m$ có đỉnh là:

$I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)\Rightarrow I\left(-1;m^2+m\right)$

Vì đỉnh nằm trên đường thẳng $y=x+7$ nên ta có:

$m^2+m=-1+7\iff m^2+m-6=0\iff \begin{array}{l}m=2\\ m=-3\end{array}$

Vậy parabol cần tìm là: $y=2x^2+4x+8$ hoặc $y=-3x^2-6x+3$.

Dạng 3.2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

a. Phương pháp giải:

Cho hàm số bậc hai $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$

* Sự biến thiên của hàm số:

- Với a > 0, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$. Ta có bảng biến thiên:

- Với a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$. Ta có bảng biến thiên:

* Cách vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$.

Bước 2: Vẽ trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}$. Đây là đường thẳng đi qua điểm $\left(-\frac{b}{2a};0\right)$ và song song với trục Oy.

Bước 3: Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị như: giao điểm với trục tung, trục hoành,…

Bước 4: Vẽ parabol.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

+) Xét hàm số $y=3x^2-4x+1$ có: a = 3; b = -4; c = 1; $-\frac{b}{2a}=\frac{2}{3}$; $\Delta =b^2-4ac=4$;$-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1}{3}$

+) Parabol có đỉnh $I\left(\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right)$

+) Trục đối xứng: $x=\frac{2}{3}$

+) Giao điểm với trục Oy là C(0; 1)

+) Giao điểm với trục Ox là A(1; 0);$B\left(\frac{1}{3};0\right)$

+) Vì a = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{2}{3};+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{2}{3}\right)$.Ta có bảng biến thiên:

+) Vẽ đồ thị:

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

+) Xét hàm số $y=-x^2+4x-3$ có: a = -1; b = 4; c = -3;$-\frac{b}{2a}=2$ ; $\Delta =b^2-4ac=4$;$-\frac{\Delta }{4a}=1$

+) Parabol có đỉnh

+) Trục đối xứng: x = 2

+) Giao điểm với trục Oy là C(0; -3)

+) Giao điểm với trục Ox là A(1; 0); B(3; 0)

+) Vì a = -1 < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$

Ta có bảng biến thiên:

+) Vẽ đồ thị:

Dạng 3.3: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

a. Phương pháp giải:

Muốn tìm giao điểm của hai đồ thị y = f(x) và y = g(x). Ta xét phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1).

-Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung.

-Để tìm tung độ giao điểm ta thay nghiệm x vào y = f(x) hoặc y = g(x).

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là :

$x^2-3x+2=x-1\iff x^2-4x+3=0\iff \begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$

Với $x=1\Rightarrow y=x-1=1-1=0$

Với $x=3\Rightarrow y=x-1=3-1=2$

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: (1; 0); (3; 2).

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol:

$2x^2-x-2=x^2+x+1\iff x^2-2x-3=0\iff \begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}$

Thay x = -1 và x = 3 vào $y=x^2+x+1$ ta được:

$x=-1\Rightarrow y=1$

$x=3\Rightarrow y=13$

Do đó hai giao điểm của hai parabol là $A\left(-1;1\right)$ và $B\left(3;13\right)$.

Từ đó

$AB=\sqrt{{\left(3+1\right)}^2+{\left(13-1\right)}^2}=4\sqrt{10}$

Dạng 3.4: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

a. Phương pháp giải:

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ có đồ thị là parabol.

* Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b], ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh của parabol và dấu của hệ số a.

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số và xác định đoạn [a; b] trên bảng biến thiên

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để đưa ra kết luận.

* Trong trường hợp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên , ta có:

+) Với a < 0, hàm số chỉ có giá trị lớn nhất bằng $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\Delta }{4a}$ và không tồn tại giá trị nhỏ nhất

+) Với a > 0, hàm số chỉ có giá trị nhỏ nhất bằng $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\Delta }{4a}$ và không tồn tại giá trị lớn nhất

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a.$f\left(x\right)=2x^2+x-3$

b. $f\left(x\right)=-3x^2+x+2$

Hướng dẫn:

a. Xét hàm số $f\left(x\right)=2x^2+x-3$ có a = 2; b = 1; c = -3.

Do a = 2 > 0 nên hàm số chỉ có giá trị nhỏ nhất.

Suy ra:

$\min f\left(x\right)=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=f\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{25}{8}$

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là $-\frac{25}{8}$ tại $x=-\frac{1}{4}$.

b. Xét hàm số $f\left(x\right)=-3x^2+x+2$ có a = -3; b = 1; c = 2.

Do a = -3 < 0 nên hàm số chỉ có giá trị lớn nhất.

Suy ra :

$\max f\left(x\right)=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{25}{12}$

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất là $\frac{25}{12}$ tại $x=\frac{1}{6}$.

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Xét hàm số $y=5x^2+2x+1$ có a = 5 > 0; b = 2; c = 1;$-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{5}$ ;$-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{4}{5}$ .

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left.-2;2\right]$ là $\frac{4}{5}$.

3. Bài tập tự luyện

a. Tự luận

Câu 1:

Hướng dẫn:

Hàm số $y=x^2-4x+3$ có $a=1>0$nên đồng biến trên khoảng ,$\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$.

Vì vậy hàm số đồng biến trên $\left(2;+\infty \right)$ và nghịch biến trên $\left(-\infty ;2\right)$.

Câu 2:

Hướng dẫn:

Hàm số có a = 1 > 0, $\frac{-b}{2a}=m+1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(m+1;+\infty \right)$.

Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng $\left(4;2018\right)$ thì ta phải có

$\left(4;2018\right)\subset \left(m+1;+\infty \right)\iff m+1\le 4\iff m\le 3$

Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1; 2; 3.

Câu 3:

Hướng dẫn:

Ta có đỉnh I(-1; -5)$\Rightarrow -\frac{4}{2a}=-1\Rightarrow a=2.$

Hơn nữa $I\in \left(P\right)$ nên $-5=a-4-b\Rightarrow b=3.$

Câu 4:

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số $y={\text{ax}}^2+bx+c$ đi qua điểm $A\left(2;1\right)$ và có đỉnh $I\left(1;-1\right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}4a+2b+c=1\\ -\frac{b}{2a}=1\\ a+b+c=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}4a+2b+c=1\\ b=-2a\\ a+b+c=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}c=1\\ b=-2a\\ -a+c=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}c=1\\ b=-4\\ a=2\end{array}$

Vậy $T=a^3+b^2-2c=22$

Câu 5:

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; -1) nên $c=-1$.

Tọa độ đỉnh là I(1; -3) nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=1\\ a{.1}^2+b.1-1=-3\end{array}\iff \begin{array}{l}2a+b=0\\ a+b=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}a=2\\ b=-4\end{array}$

Vậy hàm số cần tìm là: $y=2x^2-4x-1$

Câu 6:

Hướng dẫn:

Hàm số bậc hai $y=2x^2-4x-1$ có a = 1 > 0

Suy ra:

$\min f\left(x\right)=f\left(-\frac{-4}{2.1}\right)=f\left(2\right)=-3$

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là -3 tại x = 2.

Câu 7:

Hướng dẫn:

Ta có: $-\frac{b}{2a}=2\in \text{[-1;4]}$; a = 1 > 0

Xét trên đoạn $\left.-1;4\right]$ thì hàm số có bảng biến thiên là:

Từ bảng biến thiên suy ra: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng nên tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 8+(-1) = 7.

Câu 8:

Hướng dẫn:

Hàm số $y=x^2+2mx+5$ có $a=1>0$ nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=-\frac{b}{2a}$.

Theo đề bài ta có:

$y\left(-\frac{b}{2a}\right)=1\iff y\left(-m\right)=1\iff m^2-2m^2+5=1\iff m^2=4\iff m=\pm 2$

Câu 9:

Hướng dẫn:

Hoành độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình:

$x^2-4x=-x-2\iff x^2-3x+2=0\iff \begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}$

Với x = 1 suy ra y = -3

Với x = 2 suy ra y = -4

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và d là $M\left(1;-3\right)$, $N\left(2;-4\right)$.

Câu 10:

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:

$x^2+1=mx-3$

$\iff x^2-mx+4=0$(*)

Đường thẳng $y=mx-3$ không có điểm chung với parabol $y=x^2+1$

Phương trình (*) vô nghiệm:

$\iff \Delta <0\iff m^2-16<0\iff -4<m<4$

Vì $m\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow m\in \left.-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$

b. Trắc nghiệm:

Câu 1:

A. $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right).$

B. $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right).$

C. $\left(-\frac{\Delta }{4a};+\infty \right).$

D. $\left(-\infty ;-\frac{\Delta }{4a}\right).$

Hướng dẫn:

Chọn B.

Với a > 0, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$.

Câu 2:

A.$\left(-\infty ;3\right)$

B.$\left(-\infty ;6\right)$

C.$\left(3;+\infty \right)$

D.$\left(6;+\infty \right)$

Hướng dẫn:

Chọn C.

Ta có a = -1 <0,$\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2.\left(-1\right)}=3$ . Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$.

Câu 3:

A. $I\left(0;1\right)$

B. $I\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$

C. $I\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$

D. $I\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$

Hướng dẫn:

Chọn B.

Hoành độ đỉnh của $\left(P\right):y=3x^2-2x+1$ là $x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{3}$. Suy ra tung độ đỉnh của (P) là: $y=3{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2.\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$

Vậy $I\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$

Câu 4:

A. m = 4; n = -3

B. m = 4; n = 3

C. m = -4; n = -3

D. m = -4; n = 3

Hướng dẫn:

Chọn D.

Parabol $\left(P\right):y=x^2+mx+n$ nhận $I\left(2;-1\right)$ là đỉnh, khi đó ta có

$\begin{array}{l}4+2m+n=-1\\ -\frac{m}{2}=2\end{array}\iff \begin{array}{l}2m+n=-5\\ m=-4\end{array}\iff \begin{array}{l}n=3\\ m=-4\end{array}$

Vậy $m=-4,n=3$.

Câu 5:

Hướng dẫn:

Chọn B.

Hàm số $y=-2x^2+4x+1$ có đỉnh $I\left(1;3\right)$, hệ số $a=-2<0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$.

Câu 6:

A. a < 0; b > 0; c < 0.

B. a < 0; b < 0; c < 0.

C. a < 0; b > 0; c > 0.

D. a < 0; b < 0; c > 0.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Parabol quay bề lõm xuống dưới $\Rightarrow a<0$.

Parabol cắt Oy tại điểm có tung độ dương $\Rightarrow c>0$.

Đỉnh của parabol có hoành độ dương $\Rightarrow \frac{-b}{2a}>0\Rightarrow \frac{b}{a}<0$ mà $a<0$ nên suy ra $b>0$.

Câu 7:

A. -9.

B. 9.

C. -6.

D. 6.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Parabol $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c,\left(a\ne 0\right)$ đi qua các điểm $A\left(-1;0\right)$, $B\left(1;-4\right)$, $C\left(3;0\right)$ nên có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}a-b+c=0\\ a+b+c=-4\\ 9a+3b+c=0\end{array}\iff \begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=-3\end{array}$

Khi đó:

$2a+b+2c=2.1-2+2\left(-3\right)=-6$

Câu 8:

A. m = 0.

B. m = -9.

C.m = 1.

D. m = -3.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Ta có hàm số $y=x^2-2x+2m+3$ có hệ số $a=1>0,b=-2$, trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}=1$ nên có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên đoạn $\left.2;5\right]$ suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left.2;5\right]$ bằng $f\left(2\right)$. Theo giả thiết :

$f\left(2\right)=-3\iff 2m+3=-3\iff m=-3$

Câu 9:

A. $\left(-1;4\right),\left(-2;5\right)$

B.$\left(2;0\right),\left(-2;0\right)$

C.$\left(1;-\frac{1}{2}\right),\left(-\frac{1}{5};\frac{11}{50}\right)$

D. $\left(\frac{1}{3};-1\right)$

Hướng dẫn:

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d là:

$-x^2-4x+1=-x+3\iff x^2+3x+2=0\iff \begin{array}{l}x=-1\Rightarrow y=4\\ x=-2\Rightarrow y=5\end{array}$

Vậy giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d có tọa độ $\left(-1;4\right)$ và $\left(-2;5\right)$.

Câu 10:

A.$m<-3$

B. $-3<m<4$

C. $m<4$

D.$m\le 4$

Hướng dẫn:

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=mx+3-2m$ và parabol $y=x^2-3x-5$ là:

$x^2-3x-5=mx+3-2m$

$x^2-\left(m+3\right)x+2m-8=0$ (*).

Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu $\iff a.c<0$ (theo định lý Vi-et)

$2m-8<0\iff m<4$