Bất đẳng thức là gì? Tính chất, các dạng bất đẳng thức, bài tập và cách giải (2025) chi tiết nhất

Bất đẳng thức lớp 10 và cách giải bài tập – Toán lớp 10

I. Lý thuyết về Bất đẳng thức

1. Bất đẳng thức là gì?

Các mệnh đề dạng “a > b” hoặc “a < b” được gọi là bất đẳng thức.

Nếu mệnh đề “a < b$\Rightarrow$ c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b$\Rightarrow$ c < d.

Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b $\iff$c < d.

2. Tính chất của bất đẳng thức

Tên gọi và điều kiện		Nội dung
Cộng hai vế của bất đẳng thức với số bất kì		$a<b\iff a+c<b+c$
Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số	c > 0	$a<b\iff ac<bc$
	c < 0	$a<b\iff ac>bc$
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều		$\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\Rightarrow a+c>b+d$
Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều		$\begin{array}{l}0<a<b\\ 0<c<d\end{array}\Rightarrow ac<bd$
Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa	$n\in {\mathbb{N}}^{*}$	$a<b\iff a^{2n+1}<b^{2n+1}$
	$n\in {\mathbb{N}}^{*}$và a > 0	$a<b\iff a^{2n}<b^{2n}$
Khai căn hai vế của một bất đẳng thức	a > 0	$a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$
	a bất kỳ	$a<b\iff \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$

Chú ý

Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a < b hoặc a > b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.

3. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

- Nếu mệnh đề "a < b => c < d" đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a<b và cũng viết là a < b => c < d

Ví dụ: a < b và b < c => a < c (tính chất bắc cầu)

a < b, c tùy ý => a + c < b + c (tính chất cộng hai vế bất đẳng thức với một số)

- Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b ⇔ c < d

II. Các bất đẳng thức thường gặp

1. Bất đẳng thức Cô-si

$\forall a\ge 0;b\ge 0$ thì ta có: $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=2

Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

$a+\frac{1}{a}\ge 2,\forall a>0.$

Hệ quả 2: Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau.

Hệ quả 3: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.

2. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ta có các tính chất cho trong bảng sau:

Điều kiện	Nội dung
	$\left|x\right|\ge 0,\left|x\right|\ge x,\left|x\right|\ge -x$
a > 0	$\left|x\right|\le a\iff -a\le x\le a$
	$\left|x\right|\ge a\iff \begin{array}{l}x\le -a\\ x\ge a\end{array}$
	$\left|a\right|-\left|b\right|\le |a+b|\le \left|a\right|+\left|b\right|$

3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:

Với hai bộ sốvàta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0

III. Các dạng bài tập bất đẳng thức

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức nhờ định nghĩa

a. Phương pháp giải:

Để chứng minh $A\ge B$ (hoặc A > B), ta làm các bước sau:

Bước 1: xét hiệu A – B.

Bước 2: chứng minh $A-B\ge 0$ ( hoặc A – B > 0).

Sử dụng linh hoạt kiến thức ở phần lý thuyết để chứng minh ở bước 2.

Bước 3: kết luận.

Bước 4: xét A = B khi nào?

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$ .

Hướng dẫn:

Ta có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{{(a-b)}^2}{ab}\ge 0$

(do a, b > 0)

Vậy $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Xét biểu thức: $M=a^2+b^2+c^2–\left(ab+bc+ca\right)$.

Suy ra:

Suy ra $2a^2+2b^2+2c^2-2ab–2bc–2ca\ge 0$

hay $a^2+b^2+c^2–\left(ab+bc+ca\right)\ge 0$

Vậy $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si

a. Phương pháp giải:

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

- Khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si thì các số phải là những số không âm

- Bất đẳng thức Cô-si thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh có tổng và tích

- Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau

- Bất đẳng thức Cô-si còn có hình thức khác thường hay sử dụng:

Đối với hai số: $x^2+y^2\ge 2xy;x+y\ge 2\sqrt{xy}$ với mọi $x;y\ge 0$

Đối với ba số:$abc\le \frac{a^3+b^3+c^3}{3}$ ; $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$ với mọi $a;b;c\ge 0$

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$.

Hướng dẫn:

Vì x, y, z là các số thực dương suy ra $\frac{x}{yz},\frac{y}{z\text{x}},\frac{z}{xy}$ là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$\frac{x}{yz}+\frac{y}{x\text{z}}\ge 2.\sqrt{\frac{x}{yz}.\frac{y}{x\text{z}}}=\frac{2}{z}$ (1)

$\frac{x}{yz}+\frac{z}{xy}\ge 2.\sqrt{\frac{x}{yz}.\frac{z}{xy}}=\frac{2}{y}$ (2)

$\frac{z}{xy}+\frac{y}{zx}\ge 2.\sqrt{\frac{z}{xy}.\frac{y}{zx}}=\frac{2}{x}$ (3)

Cộng các vế của (1), (2) và (3) ta được

$2\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\right)\ge 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

Hay $\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương ta có:

$\frac{1}{a}+36a\ge 2\sqrt{\frac{1}{a}.36a}=12$ (1)

$\frac{4}{b}+36b\ge 2\sqrt{\frac{4}{b}.36b}=24$ (2)

$\frac{9}{c}+36c\ge 2\sqrt{\frac{9}{c}.36c}=36$(3)

Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) ta được

$\begin{array}{l}\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}+36(a+b+c)\ge 72\\ \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}\ge 36\end{array}$

(do a + b + c = 1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{a}=36a;\frac{4}{b}=36b;\frac{9}{c}=36c$ và a + b + c = 1 hay $a=\frac{1}{6};b=\frac{1}{3};c=\frac{1}{2}$.

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nhờ bất đẳng thức

a. Phương pháp giải:

Vận dụng các tính chất của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,… để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Ta có: $P=x^2+\frac{16}{x}$ $=x^2+\frac{8}{x}+\frac{8}{x}$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số, ta có:

$x^2+\frac{8}{x}+\frac{8}{x}\ge 3\sqrt[3]{x^2.\frac{8}{x}.\frac{8}{x}}=12$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x^2=\frac{8}{x}=\frac{8}{x}\iff x=2$.

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Giả sử hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là a, b (0 < a, b < 150) (đơn vị: mét)

Từ giả thiết, ta có a + b = 300 : 2 = 150 (m)

Diện tích hình chữ nhật là $S=a.b\left(m^2\right)$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{a.b}\le \frac{a+b}{2}\iff \sqrt{a.b}\le 75\\ \iff ab\le 5625\iff S\le 5625\end{array}$

Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là $5625m^2$.

Dấu bằng xảy ra

$\begin{array}{l}a=b\\ a+b=150\end{array}\iff a=b=75.$

IV. Bài tập về Bất đẳng thức

1. Tự luận

Câu 1:

Hướng dẫn:

Xét hiệu:

$\frac{a^2+b^2}{2}-{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$

= $\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}$

=$\frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-a^2-b^2-2ab\right)$

= $\frac{1}{4}{\left(a-b\right)}^2\ge 0$

Vậy $\frac{a^2+b^2}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$. Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Câu 2:

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)$.

Hướng dẫn:

Câu 3:

$\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge 8abc\forall a,b,c\ge 0$

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$\left.\begin{array}{l}a+b\ge 2\sqrt{ab}\\ b+c\ge 2\sqrt{bc}\\ c+a\ge 2\sqrt{ca}\end{array}\right\}\Rightarrow \left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge 8abc$

Dấu “=” xảy ra $\iff a=b=c$.

Câu 4:

Hướng dẫn:

Ta có:

$a^2+8=(a^2+4)+4\ge \text{2 }\sqrt{(a^2+4).4}$

( theo bất đẳng thức Cô-si)

Do đó:

$\frac{a^2+8}{\sqrt{a^2+4}}\ge \frac{2\sqrt{\left(a^2+4\right).4}}{\sqrt{a^2+4}}=4$

Dấu “=” xảy ra $\iff a^2+4=4\iff a=0$

Câu 5: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge 9$(1)

Hướng dẫn:

Đặt x = $a^2+2bc$; y = $b^2+2ac$; z =$c^2+2ab$ ( do a, b, c > 0 nên x, y, z > 0)

Ta có:

$x+y+z={\left(a+b+c\right)}^2=1$

Với x + y + z = 1 và x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cô-si cho 3 số ta có:

$x+y+z\ge$3$\sqrt[3]{xyz}$.

và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge$3$\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$.

$\Rightarrow \left(x+y+z\right).\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9$

Suy ra $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9$

hay $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge 9$.

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{4x^4-3x^2+9}{x^2}$; $x\ne 0$.

Hướng dẫn:

Xét hàm số

$y=\frac{4x^4-3x^2+9}{x^2}=4x^2+\frac{9}{x^2}-3$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $4x^2+\frac{9}{x^2}\ge 2\sqrt{4x^2.\frac{9}{x^2}}=12$

$\Rightarrow y\ge 9$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{4x^4-3x^2+9}{x^2}$ là 9 khi $4x^2=\frac{9}{x^2}$

$\iff x^2=\frac{3}{2}\iff x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Câu 7:

Hướng dẫn:

Ta có $f\left(x\right)\ge 0$ và ${\left.f\left(x\right)\right]}^2=\frac{x-2}{x^2}=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}$

$=\frac{1}{8}-2{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\right)}^2\le \frac{1}{8}\Rightarrow 0\le f\left(x\right)\le \frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{\sqrt{2}}{4}$ đạt được khi x=4

Câu 8:

Hướng dẫn:

Tập xác định của hàm số $D=\left.-\frac{3}{2};3\right]$.

Ta thấy $y>0\forall x\in \left.-\frac{3}{2};3\right]$.

Có:

$y^2=9+2\sqrt{\left(6-2x\right)\left(3+2x\right)}\ge 9\forall x\in \left.-\frac{3}{2};3\right]$.

Suy ra $y\ge 3$;$\forall x\in \left.-\frac{3}{2};3\right]$.

Dấu bằng xảy ra khi $\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\ x=3\end{array}$.

Vậy $\underset{x\in \left.-\frac{3}{2};3\right]}{Miny}=3$.

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

$2\sqrt{\left(6-2x\right)\left(3+2x\right)}\le \left(6-2x\right)+\left(3+2x\right)=9$

với $\forall x\in \left.-\frac{3}{2};3\right]$.

Suy ra:

$\begin{array}{l}{y}^2\le 18,\forall x\in \left.-\frac{3}{2};3\right]\\ \Rightarrow y\le 3\sqrt{2},\forall x\in \left.-\frac{3}{2};3\right]\end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi :

$6-2x=3+2x\iff x=\frac{3}{4}$

Vậy $\underset{x\in \left.-\frac{3}{2};3\right]}{Maxy}=3\sqrt{2}$.

Câu 9:

Hướng dẫn:

Ta có:

$P=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{2a}{b}-\frac{2b}{a}-1=\left(\frac{a^2}{b^2}-\frac{2a}{b}+1\right)+\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2b}{a}+1\right)-3={\left(\frac{a}{b}-1\right)}^2+{\left(\frac{b}{a}-1\right)}^2-3\ge -3$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}\frac{a}{b}=1\\ \frac{b}{a}=1\end{array}\iff a=b\ne 0$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -3 khi $a=b$ ($a,b\ne 0$).

Câu 10: Người ta dùng 100 m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn để có thể rào được?

Hướng dẫn:

Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là x, y (x, y > 0; y là cạnh của bức tường).

Ta có: $2x+y=100$.

Diện tích hình chữ nhật là :

$\begin{array}{l}S=xy=2.x.\frac{y}{2}\stackrel{C\text{}osi}{\le }2.{\left(\frac{x+\frac{y}{2}}{2}\right)}^2\\ =\frac{1}{8}{\left(2x+y\right)}^2\\ =\frac{1}{8}{\left(100\right)}^2=1250\end{array}$

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là 1250 ${\text{m}}^{\text{2}}$ khi:

$x=\frac{y}{2}\iff y=2x\Rightarrow x=25\text{\hspace{0.17em}m}$; $y=50\text{\hspace{0.17em}m}$.

2. Trắc nghiệm

Câu 1:

A. $a-c>b-d$.

B. $a+c>b+d$.

C. $ac>bd$.

D. $\frac{a}{c}>\frac{b}{d}$.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Theo tính chất bất đẳng thức,$\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\iff a+c>b+d$

Câu 2:

A. $\begin{array}{l}a>b>0\\ c>d>0\end{array}\Rightarrow ac>bd$.

B. $\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\Rightarrow a-c>b-d$.

C. $\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\Rightarrow ac>bd$.

D. $\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\Rightarrow \frac{a}{c}>\frac{b}{d}$.

Hướng dẫn

Chọn A.

$\begin{array}{l}a>b>0\\ c>d>0\end{array}\Rightarrow ac>bd$ đúng theo tính chất nhân hai bất đẳng thức dương cùng chiều.

Câu 3:

A. $6a>3a$.

B. $3a>6a$.

C. $6-3a>3-6a$.

D. $6+a>3+a$.

Hướng dẫn

Chọn D.

Ta có $6+a>3+a$

$\iff 6+a-3-a>0$

$\iff 3>0$ đúng với mọi số thực a.

Câu 4:

A. $a>b\iff a-b>0$.

B. $a>b>0\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.

C. $a>b\iff a^3>b^3$.

D. $a>b\iff a^2>b^2$.

Hướng dẫn

Chọn D.

Các mệnh đề A, B, C đúng.

Mệnh đề D sai. Ta có phản ví dụ: $-2>-5$ nhưng ${\left(-2\right)}^2=4<25={\left(-5\right)}^2.$

Câu 5:

A. $2a<2b$.

B. $a>b-c,\forall c\in ℝ.$

C. $-a<-b.$

D. $ac>cb,\forall c\in ℝ$.

Hướng dẫn

Chọn C.

Đáp án A sai ví dụ $2>0\Rightarrow 2.2>2.0$

Đáp án B sai với a = 3, b = 2, c = -2.

Đáp án C đúng vì $-a<-b\iff a>b.$

Đáp án D sai khi $c\le 0.$

Câu 6:

A. $\left.a+b\right|\le \left.a\right|+\left.b\right|$.

B. $\left.x\right|<a\iff -a<x<a,\left(a>0\right)$.

C. $a>b\iff ac>bc{,}^{}\left(\forall c\in ℝ\right)$.

D. $a+b\ge 2\sqrt{ab}$, $\left(a\ge 0,b\ge 0\right)$.

Hướng dẫn

Chọn C.

Các đáp án A, B đều đúng theo tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Đáp án D đúng theo bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm a và b.

Đáp án C sai khi c < 0 (vì khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với một số âm thì ta được bất đẳng thức mới đổi chiều bất đẳng thức đã cho).

Câu 7:

A. Tích a.b có giá trị nhỏ nhất là 2.

B. Tích a.b không có giá trị lớn nhất.

C. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 4.

D. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 2.

Hướng dẫn

Chọn C.

Với mọi số thực a và b ta luôn có:

$a.b\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\iff a.b\le 4.$

Dấu “=” xảy ra $\iff a=b=2.$

Câu 8:

A. $4\sqrt{3}$.

B. $2\sqrt{6}$.

C. $\sqrt{6}$.

D. $2\sqrt{3}$.

Hướng dẫn

Chọn B.

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có $2x+\frac{3}{x}\ge 2\sqrt{6}$ suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng $2\sqrt{6}$.

Câu 9:

A. 2.

B. $\sqrt{2}$.

C. $2-\sqrt{2}$

D. 0.

Hướng dẫn

Chọn B.

$A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$có tập xác định $D=\left.2;4\right]$.

Ta có: $A^2=2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\ge 2$

$\Rightarrow A\ge \sqrt{2}$, dấu bằng xảy ra khi x = 2 hoặc x = 4.

Câu 10:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\left(I\right)$;$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3\left(II\right)$ ;

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\left(III\right)$

Với mọi giá trị của a, b, c dương ta có:

A. (I) đúng và (II), (III) sai.

B. (II) đúng và (I), (III) sai.

C. (III) đúng và (I), (II) sai.

D. (I), (II), (III) đúng.

Hướng dẫn

Chọn D.

Với mọi a, b, c dương ta luôn có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\iff \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$, dấu bằng xảy ra khi a = b. Vậy (I) đúng.

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}$

$\iff \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3$, dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy (II) đúng.

$\left(a+b+c\right).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9$,

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy (III) đúng.