Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất - Toán lớp 10

Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất- Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Định nghĩa vectơ pháp tuyến: Vectơ $\overrightarrow{n}$($\overrightarrow{n}\ne 0$) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$nếu giá của vectơ $\overrightarrow{n}$vuông góc với đường thẳng $\Delta$.

- Chú ý:

+ Nếu $\overrightarrow{n}$là vectơ pháp tuyến của $\Delta$thì k$\overrightarrow{n}$($k\ne 0$)cũng là vectơ pháp tuyến của $\Delta$.

+ Nếu đường thẳng $\Delta$có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b)$thì đường thẳng đó có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(b;-a)$, $\overrightarrow{n\text{'}}=(-b;a)$.

II. Các công thức.

- Cho $\overrightarrow{n}$là vectơ pháp tuyến của $∆\Rightarrow$k$\overrightarrow{n}$($k\ne 0$)là vectơ pháp tuyến của $∆$.

- Cho đường thẳng $∆$: ax + by + c = 0  $\Rightarrow$Vectơ pháp tuyến của $∆$là $\overrightarrow{n}=(a;b)$

- Cho đường thẳng $∆$có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b)$thì đường thẳng đó có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(b;-a)$, $\overrightarrow{n\text{'}}=(-b;a)$.

- Cho đường thẳng dvà d’. Biết $d\perp d\text{'}$: Nếu d’ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u\text{'}}=(a;b)$thì vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(a;b)$.

- Cho đường thẳng d và d’. Biết d // d’: Nếu d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u\text{'}}=(a;b)$thì vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(-b;a),\overrightarrow{n}=(b;-a)$.

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho đường thẳng d: 5x – 6y + 3 = 0. Tìm vectơ pháp tuyến của d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 5x – 6y + 3 = 0

$\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của d là: $\overrightarrow{n}=(5;-6)$

Bài 2: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(8;3)$. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(8;3)$

$\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là: $\overrightarrow{n}=(-3;8)$

Bài 3: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;7)$. Tìm vectơ pháp tuyến của các đường thẳng sau:

a) d’ song song với d

b) d’’ vuông góc với d

Lời giải:

a)

Do d’ song song với d và d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;7)$nên ta có:

Vectơ pháp tuyến của d’ là $\overrightarrow{n\text{'}}=(-7;3)$

b)

Do d’’ vuông góc với d và d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;7)$nên ta có:

Vectơ pháp tuyến của d’’ là $\overrightarrow{n\text{'}\text{'}}=(3;7)$

IV. Bài tập vận dụng.

Bài 1: Cho đường thẳng d: 4x – 3y – 4 = 0 vuông góc với đường thẳng d’. Tìm vectơ pháp tuyến của d’.

Bài 2: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-3;3)$. Tìm vectơ pháp tuyến của d.