Bài tập về Hệ thức Vi-et và công thức Hệ thức Vi-et (2024) hay nhất

Bài tập về Hệ thức Vi-et và công thức Hệ thức Vi-et hay nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

- Định lí Vi- ét:

+ Phương trình bậc hai có dạng ${\text{ax}}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) có hai nghiệm $x_1$,$x_2$ , khi đó ta có: $\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}$

+ Cho hai số u và v có tổng u + v = S và có tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của phương trình: $x^2-Sx+P=0$

II. Các công thức

- Định lí Vi-ét:

+) ${\text{ax}}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) có $\Delta \ge 0$ ($\Delta \text{'}\ge 0$)$\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}$

+) $\begin{array}{l}u+v=S\\ u.v=P\end{array}$

$\Rightarrow x^2-Sx+P=0\iff \begin{array}{l}x=u\\ x=v\end{array}$

- Dấu của nghiệm phương trình bậc hai:

+) Hai nghiệm phân biệt cùng dấu $\iff \begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1.x_2>0\end{array}$

+) Hai nghiệm phân biệt dương $\iff \begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1+x_2>0\\ x_1.x_2>0\end{array}$

+) Hai nghiệm phân biệt âm $\iff \begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1+x_2<0\\ x_1.x_2>0\end{array}$

+) Hai nghiệm phân biệt trái dấu $\iff a.c<0$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1:

Lời giải:

Xét phương trình:$x^2+2mx+2m-1=0$

$\Delta \text{'}=m^2-1.(2m-1).=m^2-2m+1={(m-1)}^2\ge 0\forall m\in ℝ$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$$\iff m\ne 1$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-2m}{1}=-2m\\ x_1.x_2=\frac{2m-1}{1}=2m-1\end{array}$

Ta có:

${x_1}^2+{x_2}^2=6\iff {x_1}^2+2x_1{x}_2+{x_2}^2-2x_1{x}_2=6\iff {(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2=6\iff {(-2m)}^2-2.(2m-1)=6\iff 4m^2-4m+2=6\iff 4m^2-4m-4=0\iff m^2-m-1=0$

Xét phương trình $m^2-m-1=0$ có $\Delta ={(-1)}^2-\mathrm{4.1.}(-1)=5$ > 0

$\Rightarrow$ Phương trình $m^2-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt

$m_1=\frac{-(-1)+\sqrt{5}}{2.1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (t/m)

$m_2=\frac{-(-1)-\sqrt{5}}{2.1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (t/m)

Vậy với $m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $m=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ thì phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa mãn: ${x_1}^2+{x_2}^2=6$.

Bài 2: Cho phương trình $x^2+4x+2=0$. Tìm giá trị biểu thức $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ mà không cần phải tìm nghiệm của phương trình với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2+4x+2=0$

$\Delta \text{'}=2^2-1.2=2>0$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-4}{1}=-4\\ x_1.x_2=\frac{2}{1}=2\end{array}$

Ta có:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1.x_2}=\frac{-4}{2}=-2$

Vậy $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-2.$

Bài 3:

a) $x^2+4x-2m=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) $x^2+mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

c) $x^2+mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt dương.

d) $2x^2+3mx-2=0$ có hai nghiệm phân biệt âm.

Lời giải:

a)

Xét phương trình $x^2+4x-2m=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu thì $1.(-2m)<0\iff m>0$

Vậy m > 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b)

Xét phương trình $x^2+mx-m-1=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$\Delta =m^2-\mathrm{4.1.}(-m-1)=m^2+4m+4={(m+2)}^2>0\iff m\ne -2\left(1\right)$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

$x_1.x_2=\frac{-m-1}{1}=-m-1$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:

$\Rightarrow -m-1>0\iff m<-1$ (2)

Kết hợp hai điều kiện (1), (2) ta có m < -1 và $m\ne -2$ thì phương trình $x^2+mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

c)

Xét phương trình $x^2+mx-m-1=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$\Delta =m^2-\mathrm{4.1.}(-m-1)=m^2+4m+4={(m+2)}^2>0\iff m\ne -2\left(1\right)$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-m}{1}=-m\\ x_1.x_2=\frac{-m-1}{1}=-m-1\end{array}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương:

$\Rightarrow \begin{array}{l}-m>0\\ -m-1>0\end{array}\iff \begin{array}{l}m<0\\ m<-1\end{array}\iff m<-1\left(2\right)$

Kết hợp hai điều kiện (1), (2) ta có m < -1 và $m\ne -2$ thì phương trình $x^2+mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt dương.

d)

Xét phương trình $2x^2+3mx-2=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$\Delta ={\left(3m\right)}^2-\mathrm{4.2.}(-2)=9m^2+16>0\forall m\in ℝ$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-3m}{2}\\ x_1.x_2=\frac{-2}{2}=-1\end{array}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm:

$\Rightarrow \begin{array}{l}-\frac{3m}{2}<0\\ -1>0\end{array}$ (vô lý vì – 1 < 0)

Vậy phương trình không thể có hai nghiệm phân biệt âm.

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3: Cho phương trình

(1)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b) Tính theo tham số m giá trị của biểu thức

Bài 4: Cho phương trình bậc hai (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m,

b) Tìm m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6

Bài 5: Cho phương trình (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn có giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Bài 7: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn