Phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (2024) chi tiết nhất

Phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

- Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối như:

+ Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối.

+ Bình phương hai vế phương trình đã cho.

+ Đặt ẩn phụ.

II. Các công thức

$\left.f\left(x\right)\right|=\left.g\left(x\right)\right|\iff \begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\left(x\right)=-g\left(x\right)\end{array}\left.f\left(x\right)\right|=\left.g\left(x\right)\right|\iff f^2\left(x\right)=g^2\left(x\right)\left.f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)\iff \begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0\\ f^2\left(x\right)=g^2\left(x\right)\end{array}\left.f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\left(x\right)\ge 0\end{array}\\ \begin{array}{l}-f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\left(x\right)<0\end{array}\end{array}$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1:

a) |3x – 4| = |6 – 2x|;

b) |2 + x| = |x – 1|.

Lời giải:

a)

|3x – 4| = |6 – 2x|

$\iff \begin{array}{l}3x-4=6-2x\\ 3x-4=-6+2x\end{array}\iff \begin{array}{l}5x=10\\ x=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2\\ x=-2\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 2}.

b)

|2 + x| = |x – 1|

$\iff {(2+x)}^2={(x-1)}^2\iff 4+4x+x^2=x^2-2x+1\iff 6x=-3\iff x=\frac{-1}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left.\frac{-1}{2}\right\}$.

Bài 2:

Lời giải:

TH1:

|3x – 6| = 2x + 3

$\Rightarrow$3x – 6 = 2x + 3

$\iff$x = 3 + 6

$\iff$x = 9 (thỏa mãn điều kiện)

TH2: 3x – 6 < 0$\iff$ x < 2

|3x – 6| = 2x + 3

$\Rightarrow$-3x + 6 = 2x + 3

$\iff$5x = 3

$\iff x=\frac{3}{5}$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left.9;\frac{3}{5}\right\}$.

Bài 3:

Lời giải:

|4x + 1| = x – 5

$\iff \begin{array}{l}x-5\ge 0\\ {(4x+1)}^2={(x-5)}^2\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 5\\ 16x^2+8x+1=x^2-10x+25\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 5\\ 15x^2+18x-24=0\end{array}$

Xét phương trình $15x^2+18x-24=0$ có: $\Delta \text{'}=9^2-15.(-24)=441$ > 0

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-9+\sqrt{441}}{15}=\frac{4}{5}$,$x_2=\frac{-9-\sqrt{441}}{15}=-2$

Từ đó ta có: |4x + 1| = x – 5

$\iff \begin{array}{l}x\ge 5\\ \begin{array}{l}x=\frac{4}{5}\\ x=-2\end{array}\end{array}\iff x\in \varnothing$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1:

Bài 2: