Các phép toán trên tập hợp và cách giải bài tập (2024) hay nhất

Phương pháp giải các phép toán trên tập hợp và bài tập hay nhất

1. Lý thuyết

- Giao của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu: $C=A\cap B$.

Vậy: $A\cap B$ = {x| $x\in A$ và $x\in B$}.

- Hợp của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B. Kí hiệu: $C=A\cup B$.

Vậy:$A\cup B$ = {x| $x\in A$ hoặc $x\in B$}

- Hiệu của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu: C = A \ B.

Vậy: A \ B = {x| $x\in A$ và $x\in B$}.

- Phần bù của hai tập hợp: Khi $B\subset A$ thì A \ B gọi là phần bù của B trong A. Kí hiệu: $C_{A}B$.

2. Phương pháp giải

- Giao của hai tập hợp: $x\in A\cap B\iff \begin{array}{l}x\in A\\ x\in B\end{array}$

- Hợp của hai tập hợp: $x\in A\cup B\iff \begin{array}{l}x\in A\\ x\in B\end{array}$

- Hiệu của hai tập hợp: $x\in A\backslash B\iff \begin{array}{l}x\in A\\ x\notin B\end{array}$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Các ước số tự nhiên của 18 là: 1; 2; 3; 6; 9; 18. Suy ra A = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.

Các ước số tự nhiên của 30 là: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30. Suy ra B = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

- Giao của hai tập hợp A và B là các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B

Vậy $A\cap B$ = {1; 2; 3; 6}.

- Hợp của hai tập hợp A và B là các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

Vậy $A\cup B$ = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30}.

- Hiệu của tập hợp A và B là các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

Vậy A \ B = {9; 18}.

- Hiệu của tập hợp B và A là các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A

Vậy B \ A = {5; 10; 15; 30}.

Ví dụ 2:

a.$A\cap A$ .

b. $A\cup A$.

c. A \ A.

d. $A\cap \varnothing$.

e. $A\cup \varnothing$.

f. $A\backslash \varnothing$.

Hướng dẫn:

Sử dụng lý thuyết các phép toán về tập hợp để làm bài này

a. $A\cap A=\text{{}x|x\in A$ và $x\in A\}$ = $\left.x|x\in A\right\}$ = A.

b. $A\cup A=\text{{}x|x\in A$ hoặc $x\in A\}$ =$\left.x|x\in A\right\}$ = A.

c. A \ A =$\text{{}x|x\in A$ và $x\notin A$} = $\varnothing$.

d. $A\cap \varnothing$ = $\text{{}x|x\in A$ và $x\in \varnothing \}$ = $\varnothing$.

e. $A\cup \varnothing$ = $\text{{}x|x\in A$ hoặc $x\in \varnothing \}$ = A.

f. $A\backslash \varnothing$ = $\text{{}x|x\in A$ và $x\in \varnothing \}$ = A.

Ví dụ 3:

Hãy tìm $A\cap (B\backslash C)$ và $(A\cap B)\backslash C$. Hai tập hợp nhận được bằng nhau hay khác nhau?

Hướng dẫn:

- Ta có : B \ C = {0; 2; 8; 9}; A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9}

$A\cap (B\backslash C)$ = {x | $x\in A$ và $x\in (B\backslash C)$}. Vậy $A\cap (B\backslash C)$ = {2; 9} (1)

- Ta có: $A\cap B$= {2; 4; 6; 9}; C = {3; 4; 5; 6; 7}

$(A\cap B)\backslash C$= {x | $x\in (A\cap B)$ và $x\notin C$}. Vậy $(A\cap B)\backslash C$ = {2; 9} (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A\cap (B\backslash C)$ = $(A\cap B)\backslash C$.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1:

A. {1}.

B. {1; 3}.

C. {1; 3; 5}.

D. {1; 5}.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Vì $X\cap Y$ là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc X và vừa thuộc Y nên $X\cap Y$= {1; 5}

Câu 2:

A. {1; 2; 3; 5}.

B. {1; 3; 6; 9}.

C. {6; 9}.

D. {1}.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Vì X \ Y là tập hợp các phần tử thuộc X mà không thuộc Y nên X \ Y = {6; 9}.

Câu 3: Cho tập hợp X = {a; b; d}; Y = {a; b; c}. Tập $X\cup Y$ là tập hợp nào sau đây?

A. {a; b; c; d}.

B. {a; b}.

C. {c}.

D. {a; b; c}.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Vì $X\cup Y$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc X hoặc thuộc Y nên $X\cup Y$ = {a; b; c; d}.

Câu 4:

A. {1; 2}.

B. {1; 2; 3; 4}.

C. {3; 4}.

D. $\varnothing$

Hướng dẫn:

Chọn C.

Vì $Y\subset X$ nên $C_{X}Y=X\backslash Y=\left.3;4\right\}$

Câu 5: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp $\left(A\backslash B\right)\cup \left(B\backslash A\right)$ bằng:

A. {0; 1; 5; 6}.

B. {1; 2}.

C. {2; 3; 4}.

D. {5; 6}.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Ta có: A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = {2; 3; 4; 5; 6}.

Vì A \ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B nên A \ B = {0; 1}

Vì B \ A là tập hợp gồm các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A nên B \ A = {5; 6}

Suy ra: $\left(A\backslash B\right)\cup \left(B\backslash A\right)$ là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A \ B vừa thuộc B \ A.

Vậy $\left(A\backslash B\right)\cup \left(B\backslash A\right)=\left.0;1;5;6\right\}$

Câu 5:

A. 5.

B. 6.

C. 4.

D. 8.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Vì $A\subset X$ nên X phải chứa 3 phần tử {a;b; c} của A. Mặt khác $X\subset B$ nên X chỉ có thể lấy các phần tử a; b; c; d; e. Vậy X là một trong các tập hợp sau:

{a; b; c}; {a; b; c; d}; {a; b; c; e}; {a; b; c; d; e}.

Câu 6: Câu 34.

Cho tập hợp {$x\in \mathbb{N}$| x là ước chung của 36 và 120}. Các phần tử của tập hợp A là:

A. A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

B. A = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12}.

C. A = {2; 3; 4; 6; 8; 10; 12}.

D. A = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Xét: $A_1=${$x\in \mathbb{N}$| x là ước của 36}$\Rightarrow A_1=\left.1;2;3;4;6;9;12;18;36\right\}.$

Xét: $A_2=${$x\in \mathbb{N}$| x là ước của 120}

$\Rightarrow A_2=\left.1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30;40;60;120\right\}.$

A=$x\in \mathbb{N}x${ là ước chung của 36 và 120}

$\Rightarrow A=A_1\cap A_2=\left.1;2;3;4;6;12\right\}.$

Câu 7:

A. $T\cup G=H$.

B. $T\cap G=\varnothing$

C. $H\backslash T=G$.

D. $G\backslash T=\varnothing$.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Đáp án D sai vì G \ T là tập hợp các học sinh là nữ và không phải nam nên G \ T = G.

Đáp án A đúng vì $T\cup G$ là tập hợp các học sinh là nam hoặc là nữ nên $T\cup G$ là tập hợp các học sinh lớp 10A hay $T\cup G=H$

Đáp án B đúng vì $T\cap G$ là tập hợp các học sinh vừa là nam vừa là nữ. Điều này vô lý nên $T\cap G=\varnothing$.

Đáp án C đúng vì H \ T là tập hợp các học sinh thuộc lớp 10A và không là nam nên H \ T là tập hợp các học sinh là nữ hay $H\backslash T=G$

Câu 8:

A. $A\cup B=A$.

B. $A\cap B=A\cup B$.

C. $A\backslash B\subset A$.

D. $B\backslash A=\varnothing$.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Xét phương trình: $x^2-7x+6=0\iff \begin{array}{l}x=1\\ x=6\end{array}$ ( thỏa mãn $x\in ℝ$). Vậy A ={1; 6}

$B=\left.x\in \mathbb{N}:\left|x\right|<4\right\}$$\Rightarrow B=\left.0;1;2;3\right\}$

Vậy $A\backslash B=\left.6\right\}\Rightarrow A\backslash B\subset A$.

Đáp án A sai vì $A\cup B$ = {0; 1; 2; 3; 6} không bằng A.

Đáp án B sai vì $A\cap B=\text{{}1\}$ và $A\cup B$ = {0; 1; 2; 3; 6}. Hai tập hợp này không bằng nhau.

Đáp án D sai vì B \ A = {0; 2; 3}.

Câu 9:

A. {1; 2; 3; 4; 8; 9; 7; 12}.

B. {2; 8; 9; 12}.

C. {4; 7}.

D. {1; 3}.

Hướng dẫn:

Chọn C.

$X\cap Y$ là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc X vừa thuộc Y$\Rightarrow X\cap Y=\left.7;4\right\}.$

Câu 10:

A. {5}.

B. {0; 1}.

C. {2; 3; 4}.

D. {5; 6}.

Hướng dẫn:

Chọn D.

B \ A là tập hợp gồm các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A.

Suy ra B \ A = {5; 6}.