Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải bài tập – Toán lớp 10

1. Lý thuyết

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

2. Các dạng toán

Dạng 4.1: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

a. Phương pháp giải:

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Ta có:

$\begin{array}{l}3x+1\ge 2x+7\\ 4x+3>2x+19\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 6\\ 2x>16\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 6\\ x>8\end{array}\iff x>8$

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là: $S=(8;+\infty )$.

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

ĐKXĐ: $x\ge 3.$

Ta có:

$\begin{array}{l}2x-1\ge 3\left(x-3\right)\\ \frac{2-x}{2}<x-3\\ \sqrt{x-3}\ge 2\end{array}\iff \begin{array}{l}2x-1\ge 3x-9\\ 2-x<2x-6\\ x-3\ge 4\end{array}\iff \begin{array}{l}-x\ge -8\\ -3x<-8\\ x\ge 7\end{array}\iff \begin{array}{l}x\le 8\\ x>\frac{8}{3}\\ x\ge 7\end{array}$

$\iff 7\le x\le 8$(t/m).

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là $S=\text{[}7;8]$.

Dạng 4.2: Xác định tham số m để hệ bất phương trình có nghiệm, vô nghiệm

a. Phương pháp giải:

Ta giải từng bất phương trình của hệ theo tham số m. Sau đó, biện luận bất phương trình có nghiệm hay vô nghiệm dựa vào giao của các tập nghiệm:

+) Hệ bất phương trình có nghiệm khi giao của các tập nghiệm khác rỗng.

+) Hệ bất phương trình vô nghiệm khi giao của các tập nghiệm bằng rỗng.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Bất phương trình $2x-1>0$ có tập nghiệm $S_1=\left(\frac{1}{2};+\infty \right).$

Bất phương trình $x-m<2$ có tập nghiệm $S_2=\left(-\infty ;m+2\right).$

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi:

$S_1\cap S_2\ne \varnothing \iff m+2>\frac{1}{2}\iff m>-\frac{3}{2}.$

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

+ Bất phương trình:

$3x+4>x+9\iff 2x>5\iff x>\frac{5}{2}$

Tập nghiệm bất phương trình là $S_1=\left(\frac{5}{2};+\infty \right).$

+ Bất phương trình $1-2x\le m-3x+1\iff x\le m$

Tập nghiệm bất phương trình là $S_2=\left(-\infty ;m\right]$.

Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì $S_1\cap S_2=\varnothing \iff m\le \frac{5}{2}.$

3. Bài tập tự luyện:

3.1 Tự luận

Câu 1:

Hướng dẫn:

Ta có:

$\begin{array}{l}x+3<4+2x\\ 5x-3<4x-1\end{array}\iff \begin{array}{l}x>-1\\ x<2\end{array}\iff -1<x<2$.

Câu 2: Giải hệ bất phương trình$\begin{array}{l}\frac{2x-1}{3}<-x+1\\ \frac{4-3x}{2}<3-x\end{array}$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{2x-1}{3}<-x+1\\ \frac{4-3x}{2}<3-x\end{array}\iff \begin{array}{l}2x-1<-3x+3\\ 4-3x<6-2x\end{array}\iff \begin{array}{l}5x<4\\ -x<2\end{array}\iff \begin{array}{l}x<\frac{4}{5}\\ x>-2\end{array}\iff x\in \left(-2;\frac{4}{5}\right)$

Câu 3:

Hướng dẫn:

Ta có:

Câu 4:

Hướng dẫn:

Ta có:$\begin{array}{l}3x+2>2x+3\\ 1-x>0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x>1\\ x<1\end{array}$ (vô nghiệm).

Vậy tập nghiệm bất phương trình trên là $S=\varnothing .$

Câu 5:

Hướng dẫn:

Bất phương trình $3\left(x-6\right)<-3$ có tập nghiệm $S_1=\left(-\infty ;5\right).$

Bất phương trình $\frac{5x+m}{2}>7$ có tập nghiệm $S_2=\left(\frac{14-m}{5};+\infty \right).$

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi:

$S_1\cap S_2\ne \varnothing \iff \frac{14-m}{5}<5\iff m>-11.$

Câu 6:

Hướng dẫn:

Hệ bất phương trình tương đương với $\begin{array}{c}{m}^{2}x<m+2\\ m^{2}x\ge 4m+1\end{array}$

· Với m = 0, hệ bất phương trình trở thành $\begin{array}{c}0x<2\\ 0x\ge 1\end{array}$ (vô nghiệm).

· Với , hệ bất phương trình tương đương với $\begin{array}{c}x<\frac{m+2}{m^2}\\ x\ge \frac{4m+1}{m^2}\end{array}$.

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :

$\frac{m+2}{m^2}>\frac{4m+1}{m^2}\iff m<\frac{1}{3}$.

Vậy $0\ne m<\frac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình $\begin{array}{l}2x-1\ge 3\\ x-m\le 0\end{array}$ có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Bất phương trình $2x-1\ge 3\iff x\ge 2$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S_1=\left.2;+\infty \right).$

Bất phương trình $x-m\le 0\iff x\le m$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S_2=\left(-\infty ;m\right]$.

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì $S_1\cap S_2$ là tập hợp có đúng một phần tử. Suy ra m = 2

Câu 8:

Hướng dẫn:

Bất phương trình $m^{2}x\ge 6-x$

$\iff \left(m^2+1\right)x\ge 6\iff x\ge \frac{6}{m^2+1}$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S_1=\left.\frac{6}{m^2+1};+\infty \right).$

Bất phương trình $3x-1\le x+5\iff x\le 3$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S_2=\left(-\infty ;3\right]$.

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì $S_1\cap S_2$ là tập hợp có đúng một phần tử, suy ra $\frac{6}{m^2+1}=3$

$\iff m^2=1\iff m=\pm 1.$

Câu 9:

Hướng dẫn:

Bất phương trình $2x+7\ge 8x+1$

$\iff -6x\ge -6\iff x\le 1$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S_1=\left(-\infty ;1\right].$

Bất phương trình $m+5<2x\iff x>\frac{m+5}{2}$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S_2=\left(\frac{m+5}{2};+\infty \right)$

Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì $S_1\cap S_2=\varnothing$

$\iff 1\le \frac{m+5}{2}\iff m\ge -3.$

Câu 10: Tìm m để hệ bất phương trình $\begin{array}{l}{\left(x-3\right)}^2\ge x^2+7x+1\\ 2m\le 8+5x\end{array}$ vô nghiệm.

Hướng dẫn:

Bất phương trình ${\left(x-3\right)}^2\ge x^2+7x+1$

$\iff x^2-6x+9\ge x^2+7x+1\iff -6x+9\ge 7x+1\iff 8\ge 13x\iff x\le \frac{8}{13}$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S_1=\left(-\infty ;\frac{8}{13}\right].$

Bất phương trình $2m\le 8+5x\iff x\ge \frac{2m-8}{5}$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S_2=\left.\frac{2m-8}{5};+\infty \right)$

Để hệ bất phương trình vô nghiệm:

$\iff S_1\cap S_2=\varnothing \iff \frac{8}{13}<\frac{2m-8}{5}\iff m>\frac{72}{13}.$

3.2 Trắc nghiệm:

Câu 1: Cho hệ bất phương trình $\begin{array}{l}mx+2m>0\\ \frac{2x+3}{5}>1-\frac{3x}{5}\end{array}$. Xét các mệnh đề sau:

(I) Khi m < 0 thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm.

(II) Khi m = 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R.

(III) Khi $m\ge 0$ thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left(\frac{2}{5};+\infty \right)$.

(IV) Khi m > 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left(\frac{2}{5};+\infty \right)$.

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng ?

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Ta có :

Vậy (I) và (IV) đúng; (II) và (III) sai.

Câu 2: Hệ bất phương trình $\begin{array}{l}\left(x+3\right)\left(4-x\right)>0\\ x<m-1\end{array}$ vô nghiệm khi:

A. $m\le -2$.

B. m > -2.

C. m < -1.

D. m = 0.

Hướng dẫn:

Chọn A.

$\begin{array}{l}\left(x+3\right)\left(4-x\right)>0\\ x<m-1\end{array}\iff \begin{array}{l}-3<x<4\\ x<m-1\end{array}$

Hệ bất phương trình vô nghiệm khi $m-1\le -3\iff m\le -2$.

Câu 3:

A. $S=\left(-\infty ;-2\right]\cup \left.4;+\infty \right)$.

B. $S=\left.-2;4\right]$.

C. $S=\left.2;4\right]$.

D. $S=\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(4;+\infty \right)$.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Hệ phương trình $\iff \begin{array}{l}x\le 4\\ x\ge -2\end{array}\iff -2\le x\le 4$.

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là $S=\left.-2;4\right]$.

Câu 4: Tập nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{array}{c}\frac{4x+5}{6}<x-3\\ 2x+3>\frac{7x-4}{3}\end{array}$ là:

A. $\left(\frac{23}{2};13\right)$.

B. $\left(-\infty ;13\right)$.

C. $\left(13;-\infty \right)$.

D. $\left(-\infty ;\frac{23}{2}\right)$.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Ta có:

Câu 5:

A. m < -15.

B. $m\ge -15$.

C. m > -15.

D. $m\le -15$.

Hướng dẫn:

Chọn C.

$\begin{array}{l}3\left(x-6\right)<-3\\ \frac{5x+m}{2}>5\end{array}\iff \begin{array}{l}3x<15\\ 5x+m>10\end{array}\iff \begin{array}{l}x<5\\ x>\frac{10-m}{5}\end{array}$

Hệ bất phương trình có nghiệm :

$\iff \frac{10-m}{5}<5\iff 10-m<25\iff m>-15$

Câu 6:

A. 21.

B. 28.

C. 27.

D. 29.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S= (-1; 7).

Suy ra các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là 21.

Câu 7: Giá trị x = -2 là nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. $\begin{array}{l}2x-3<1\\ 3+4x>-6\end{array}$.

B. $\begin{array}{l}2x-5<3x\\ 4x-1>0\end{array}$.

C. $\begin{array}{l}2x-4>3\\ 1+2x<5\end{array}$.

D. $\begin{array}{l}2x-3<3x-5\\ 2x-3>1\end{array}$.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Thay x = -2 và từng hệ bất phương trình của các đáp án, ta được đáp án A thỏa mãn.

Câu 8:

A. m = -2

B. m = 1

C. m = 2

D. m = -1

Hướng dẫn:

Chọn B.

+) Với m = 0, hệ bất phương trình đã cho trở thành $\begin{array}{l}0x\le -3\\ x\ge -3\end{array}$ (vô nghiệm)

+) Với m = -3, hệ bất phương trình đã cho trở thành $\begin{array}{l}x\ge 2\\ 0x\ge -12\end{array}\iff x\ge 2$.

Do đó hệ không có nghiệm duy nhất.

+) Với $m\ne 0;m\ne -3$, hệ bất phương trình đã cho trở thành $\begin{array}{l}x\le \frac{m-3}{m}\\ x\ge \frac{m-9}{m+3}\end{array}$

Để hệ có nghiệm duy nhất thì $\frac{m-3}{m}=\frac{m-9}{m+3}\iff m=1.$

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Tập nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{array}{l}2-x>0\\ 2x+1>x-2\end{array}$là

A. $\left(-3;2\right)$.

B. $\left(-\infty ;3\right)$.

C. $\left(2;+\infty \right)$.

D. $\left(-3;+\infty \right)$.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Ta có:

$\begin{array}{l}2-x>0\\ 2x+1>x-2\end{array}\iff \begin{array}{l}x<2\\ x>-3\end{array}\iff -3<x<2$

Câu 10:

A. m=3

B. $m\ge 3.$

C. $m<3.$

D. $m\le 3.$

Hướng dẫn:

Chọn B.

+ Bất phương trình:

$3x+5\ge x-1\iff 2x\ge -6\iff x\ge -3$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S_1=\left.-3;+\infty \right)$

+ Bất phương trình

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S_2=\left(-\infty ;1\right]$

Suy ra $S_1\cap S_2=\left.-3;1\right]$.

+ Bất phương trình:

$mx+1>\left(m-2\right)x+m\iff mx+1>mx-2x+m\iff 1>-2x+m\iff 2x>m-1\iff x>\frac{m-1}{2}$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S_3=\left(\frac{m-1}{2};+\infty \right)$

Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì $\left(S_1\cap S_2\right)\cap S_3=\varnothing$

$\iff \frac{m-1}{2}\ge 1\iff m\ge 3.$