Hàm số bậc nhất và cách giải các dạng bài tập (2024) hay nhất

Phương pháp giải hàm số bậc nhất và các dạng bài tập hay nhất

1. Lý thuyết

a. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a $\ne$ 0)

+) Tập xác định: $D=ℝ$.

+) Sự biến thiên:

Với a > 0 hàm số đồng biến trên R. Ta có bảng biến thiên:

Với a < 0 hàm số nghịch biến trên R. Ta có bảng biến thiên:

+) Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng không song song và cũng không trùng với các trục tọa độ. Đường thẳng này cắt trục tung tại điểm A(0; b) và cắt trục hoành tại điểm $B\left(\frac{-b}{a};0\right)$.

b. Hàm số hằng y = b.

+) Tập xác định: $D=ℝ$.

+) Đồ thị:

Khi a = 0 hàm số y = ax + b trở thành hàm hằng y = b.

Đồ thị hàm số y = b là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành, cắt trục tung tại điểm A(0; b). Ta gọi đường thẳng này là đường thẳng y = b.

c. Hàm số y = |x|

+) Tập xác định: $D=ℝ$.

+) Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối, ta có:

$y=\left.x\right|=\begin{array}{l}xkhix\ge 0\\ -xkhix<0.\end{array}$

+) Sự biến thiên:

Hàm số y = |x| nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ và đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.

Bảng biến thiên:

+) Đồ thị:

Hàm số y = |x| là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng.

Trong nửa khoảng$\text{[}0;+\infty )$ đồ thị hàm số y = |x| trùng với đồ thị hàm số y = x.

Trong khoảng $(-\infty ;0)$đồ thị hàm số y = |x| trùng với đồ thị hàm số y = -x.

2. Các dạng bài tập

Dạng 2.1: Xác định hàm số y = ax + b () .

a. Phương pháp giải:

Để xác định hàm số bậc nhất ta thực hiện theo các bước sau:

+) Giả sử hàm số cần tìm có dạng y = ax + b ($a\ne 0$).

+) Dựa vào giả thiết bài toán để thiết lập hệ phương trình với ẩn a, b.

+) Giải hệ phương trình để tìm ẩn số a, b và suy ra hàm số cần tìm.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a. d đi qua điểm A(-2; 1) và B(1; -2).

b. d cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3 và đi qua điểm M(-2; 4)

Hướng dẫn:

a. Giả sử hàm số bậc nhất cần tìm có dạng: y = ax + b$\left(a\ne 0\right)$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm A(-2; 1) và B(1; -2) nên ta có:

$\begin{array}{l}1=-2a+b\\ -2=a+b\end{array}\iff \begin{array}{l}a=-1\\ b=-1\end{array}$

Vậy hàm số cần tìm là: $y=-x-1$

b. Giả sử hàm số bậc nhất cần tìm có dạng: y = ax + b$\left(a\ne 0\right)$.

Vì d cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3 nên d đi qua A(0; 3).

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(0; 3) và M(-2; 4) nên ta có:

$\begin{array}{l}3=b\\ 4=-2a+b\end{array}\iff \begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=3\end{array}$

Vậy hàm số cần tìm là: $y=-\frac{1}{2}x+3$.

Ví dụ 2: Cho hàm số bậc nhất y = f(x). Tìm hàm số đó biết $f\left(-1\right)=2$ và $f\left(2\right)=-3$.

Hướng dẫn:

Giả sử hàm số bậc nhất cần tìm có dạng:$y=f\left(x\right)=ax+b\left(a\ne 0\right)$ .

Theo đề bài, $f\left(-1\right)=2$ và $f\left(2\right)=-3$ nên ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}2=-a+b\\ -3=2a+b\end{array}\iff \begin{array}{l}a=-\frac{5}{3}\\ b=\frac{1}{3}\end{array}$

Vậy hàm số cần tìm là: $y=-\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}$

Dạng 2.2: Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

a. Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng $d:y=ax+b$ và $d^{\text{'}}:y=a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}.$ Khi đó:

+) $d\text{ // }{d}^{\text{'}}\iff a=a^{\text{'}}$ và $b\ne b^{\text{'}}.$

+) $d\perp d^{\text{'}}\iff a.a^{\text{'}}=-1.$

+) $d\equiv d^{\text{'}}\iff a=a^{\text{'}}$ và $b=b^{\text{'}}.$

+) $d\cap d^{\text{'}}\iff a\ne a^{\text{'}}.$ Khi đó tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình: $\begin{array}{l}y=ax+b\\ y=a\text{'}x+b\text{'}\end{array}$.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a. d đi qua điểm A(3; -2), đồng thời song song với d’: 3x - 2y + 1 = 0.

b. d đi qua B(2; -1) và vuông góc với d’: y = 4x + 3.

Hướng dẫn:

a. Giả sử hàm số bậc nhất cần tìm có dạng:$y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ .

Ta biến đổi d’ về dạng: $y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$

Do d song song d’, suy ra: $\begin{array}{l}a=\frac{3}{2}\\ b\ne \frac{1}{2}\end{array}$ (1)

Lại có d đi qua điểm A(3; -2), suy ra: -2 = 3a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\begin{array}{l}a=\frac{3}{2}\\ b=-\frac{13}{2}\end{array}$.

Vậy hàm số cần tìm là: $y=\frac{3}{2}x-\frac{13}{2}$.

b. Giả sử hàm số bậc nhất cần tìm có dạng:$y=ax+b\left(a\ne 0\right)$.

Do d đi qua điểm B(2; -1) nên: -1 = 2a + b (1)

Lại có d vuông góc d’: y = 4x + 3, suy ra: $4a=-1\iff a=\frac{-1}{4}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\begin{array}{l}a=-\frac{1}{4}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}$

Vậy hàm số cầm tìm là: $y=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}$.

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt có phương trình: $mx+\left(m–1\right)y–2\left(m+2\right)=0$, $3mx-\left(3m+1\right)y–5m–4=0$. Xác định vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$ trong trường hợp $m=\frac{1}{3}$.

Hướng dẫn:

Khi $m=\frac{1}{3}$ ta có :

$d_1:\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}y–\frac{14}{3}=0\iff y=\frac{1}{2}x-7d_2:x-2y–\frac{17}{3}=0\iff y=\frac{1}{2}x-\frac{17}{6}$

Ta có: $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ và $-7\ne -\frac{17}{6}$ suy ra hai đường thẳng song song với nhau.

Dạng 2.3: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

a. Phương pháp giải:

Cho hàm số $y=\left.ax+b\right|(a\ne 0)$, ta có:

$y=\left.ax+b\right|=\begin{array}{l}ax+b\text{ khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ge -\frac{b}{a}\\ -(ax+b)\text{ khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x<-\frac{b}{a}\end{array}\cdot$

Do đó, để vẽ đồ thị của hàm số $y=\left.ax+b\right|,$ta sẽ vẽ hai đường thẳng $y=ax+b$ và $y=-ax-b,$ rồi xóa đi phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm phía trên trục hoành chính là đồ thị của hàm số cần tìm.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a. $y=\begin{array}{l}2x\text{ khi }x\ge 1\\ x+1\text{ khi }x<1\end{array}$

b. $y=\left.x-1\right|$

Hướng dẫn:

a. Đồ thị hàm số y = 2x là đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và $B\left(\frac{3}{2};3\right)$.

Đồ thị hàm số y = x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm C(0; 1) và D(-1; 0).

Ta vẽ đường thẳng y = 2x với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn và vẽ đường thẳng y = x + 1 với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn x < 1.

b. Ta có: $y=\left.x-1\right|=\begin{array}{l}x-1khix\ge 1\\ -x+1khix<1\end{array}$

Với $x\ge 1$ đồ thị hàm số y = x - 1 là phần đường thẳng nằm phía trên trục hoành và đi qua hai điểm (1; 0); (2; 1).

Với $x<1$ đồ thị hàm số y = -x + 1 là phần đường thẳng nằm phía trên trục hoành và đi qua hai điểm (1; 0); (0; 1).

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Ta có:

$f\left(x\right)=2\iff \left.x+5\right|=2\iff \begin{array}{l}x+5=2\\ x+5=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-3\\ x=-7\end{array}$

Vậy với x = -3 hoặc x = -7 thì f(x) = 2.

3. Bài tập tự luyện

a. Tự luận

Câu 1:

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình đường thẳng cần tìm có dạng:$y=ax+b\left(a\ne 0\right)$

Đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(-1;2\right)$, $B\left(3;1\right)$ nên ta có: $\begin{array}{l}2=-a+b\\ 1=3a+b\end{array}\iff \begin{array}{l}a=-\frac{1}{4}\\ b=\frac{7}{4}\end{array}$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:$y=\frac{-x}{4}+\frac{7}{4}$

Câu 2:

Hướng dẫn:

Hàm số $y=\left(3-m\right)x+2$ có dạng hàm số bậc nhất.

Để hàm số nghịch biến trên R thì $3-m<0\iff m>3$.

Câu 3:

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định của hàm số là $2-m\ge 0\iff m\le 2\left(*\right)$.

Hàm số $y=\left(m-1\right)x-\sqrt{2-m}$ có dạng hàm số bậc nhất nên hàm số đồng biến trên R khi $m-1>0\iff m>1$. Kết hợp với điều kiện (*), ta được $1<m\le 2$

Vậy với $1<m\le 2$thì hàm số đã cho đồng biến trên R

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng $y=-3x+2$ và $y=\left(m^2-4\right)x-2m$ song song với nhau?

Hướng dẫn:

Hai đường thẳng $y=-3x+2$ và $y=\left(m^2-4\right)x-2m$ song song với nhau:

$\iff \begin{array}{l}m=\pm 1\\ m\ne -1\end{array}\iff \begin{array}{l}m=\pm 1\\ m\ne -1\end{array}\iff m=1$

Câu 5: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $y=x+2$ và $y=-\frac{3}{4}x+3$?

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:

$x+2=-\frac{3}{4}x+3\iff x=\frac{4}{7}$

Thay $x=\frac{4}{7}$ vào $y=x+2$ suy ra $y=\frac{18}{7}$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là $\left(\frac{4}{7};\frac{18}{7}\right)$.

Câu 6:

Hướng dẫn:

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$. Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{array}{l}y=2x-1\\ y=8-x\end{array}\iff \begin{array}{l}x=3\\ y=5\end{array}.$

Suy ra $A\left(3;5\right)$.

Để $d_1,d_2,d_3$ đồng quy thì $A\left(3;5\right)\in d_3$. Do đó, ta có:

$\left(3-2m\right).3+2=5\iff m=1$

Câu 7:

Hướng dẫn:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là: $A\left(-\frac{2}{3};0\right)$. Do đó $OA=\frac{2}{3}$

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là: $B\left(0;2\right)$. Do đó $OB=2$

Diện tích tam giác là: $\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.2=\frac{2}{3}$.

Câu 8:

Hướng dẫn:

Khi:

$x=-2\Rightarrow y=-2-\left.-2\right|=-4\Rightarrow A\left(-2;-4\right)$

Khi $x=1\Rightarrow y=1-\left.1\right|=0\Rightarrow B\left(1;0\right)$

Phương trình đường thẳng AB có dạng: $y=ax+b(a\ne 0)$

$A\left(-2;-4\right)\in AB\Rightarrow -4=-2a+b\Rightarrow b=2a-4\left(1\right)$

$B\left(1;0\right)\in AB\Rightarrow 0=a+b\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra:

$0=3a-4\iff a=\frac{4}{3}\Rightarrow b=\frac{-4}{3}$

Vậy phương trình đường thẳng AB là:$y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$

Câu 9:

Hướng dẫn:

$y=\left.x-5\right|=\begin{array}{l}x-5khix\ge 5\\ -x+5khix<5\end{array}$

Suy ra đồ thị hàm số là sự kết hợp giữa đồ thị hàm số $y=x-5$ (ứng với phần đồ thị khi $x\ge 5$) và đồ thị hàm số $y=-x+5$ (ứng với phần đồ thị khi $x<5$).

Câu 10:

Hướng dẫn:

Giả sử hàm số cần tìm có dạng:$y=ax+b\left(a\ne 0\right)$

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm $\left(1;0\right),\left(0;-2\right)$ nên ta có: $\begin{array}{l}0=a+b\\ -2=b\end{array}\iff \begin{array}{l}a=2\\ b=-2\end{array}$

Vậy hàm số cần tìm là:$y=2x-2$

b. Trắc nghiệm

Câu 1

A. Hàm số đồng biến khi a >0

B. Hàm số đồng biến khi a <0

C. Hàm số đồng biến khi $x>-\frac{b}{a}$

D. Hàm số đồng biến khi $x<-\frac{b}{a}$

Hướng dẫn:

Chọn A.

Hàm số bậc nhất $y=ax+b(a\ne 0)$ đồng biến khi a >0

Câu 2:

Hướng dẫn:

Chọn A.

Cho $\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=2\\ y=0\Rightarrow x=4\end{array}\Rightarrow$ Đồ thị hàm số đi qua hai điểm $\left(0;2\right),\left(4;0\right)$.

Câu 3:

A. $y=\pi x-2$

B. y = 2

C. $y=-\pi x+3$

D. y = 2x + 3.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Chỉ có hàm số $y=-\pi x+3$ có hệ số $a=-\pi <0$ nên hàm số nghịch biến trên R.

Câu 4: Cho hai đường thẳng $d:y=\left(m^2-3m\right)x+3$ và $d\text{'}:y=-2x+m+1$. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hai đường thẳng song song với nhau?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn:

Chọn B.

(d) // (d’) khi và chỉ khi :

$\begin{array}{l}{m}^2-3m=-2\\ 3\ne m+1\end{array}\iff \begin{array}{l}{m}^2-3m+2=0\\ m\ne 2\end{array}\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}m=1\\ m=2\end{array}\\ m\ne 2\end{array}\iff m=1$

Vậy có 1 giá trị của tham số m để hai đường thẳng song song với nhau.

Câu 5:

A. $d_1$ và $d_2$ trùng nhau.

B. $d_1$ và $d_2$ cắt nhau và không vuông góc.

C. $d_1$ và $d_2$ song song với nhau.

D. $d_1$ và $d_2$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Ta có: $\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{2}$ suy ra hai đường thẳng cắt nhau.

Do $\frac{1}{2}.\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}\ne -1$ nên hai đường thẳng không vuông góc.

Câu 6:

A. y = 5.

B. y = -3.

C. y = 5x + 2.

D. y = 2.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Giả sử phương trình đường thẳng có dạng: $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$

Đường thẳng đi qua hai điểm A(5; 2) và B(-3; 2) nên ta có: $\begin{array}{l}2=5a+b\\ 2=-3a+b\end{array}\iff \begin{array}{l}a=0\\ b=2\end{array}$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 2.

Câu 7:

A. y = 4x - 1.

B. y = 5 - 2x.

C. y = -2.

D. x = 2.

Hướng dẫn:

Chọn C.

y = -2 là hàm hằng, đồ thị có tính chất song song với trục hoành.

Câu 8:

A. $y=\begin{array}{l}-3x+2khix\ge 0\\ -5x-2khix<0\end{array}$

B.$y=\begin{array}{l}-3x+2khix\ge 2\\ -5x-2khix<2\end{array}$

C.$y=\begin{array}{l}-3x+2khix\ge -2\\ -5x+2khix<-2\end{array}$

D. $y=\begin{array}{l}-3x+2khix\ge -2\\ -5x-2khix<-2\end{array}$

Hướng dẫn:

Chọn D.

$y=\left.x+2\right|-4x=\begin{array}{l}x+2-4xkhix\ge -2\\ -x-2-4xkhix<-2\end{array}=\begin{array}{l}-3x+2khix\ge -2\\ -5x-2khix<-2\end{array}$

Câu 9:

A. $y=\begin{array}{l}xkhix\ge 0\\ 2xkhix<0\end{array}$

B. $y=\begin{array}{l}0khix\ge 0\\ 2xkhix<0\end{array}$

C.$y=\begin{array}{l}2xkhix\ge 0\\ 0khix<0\end{array}$

D.$y=\begin{array}{l}-2xkhix\ge 0\\ 0khix<0\end{array}$

Hướng dẫn:

Chọn C.

$y=x+\left.x\right|=\begin{array}{l}x+xkhix\ge 0\\ x-xkhix<0\end{array}=\begin{array}{l}2xkhi\text{\hspace{0.33em}}x\ge 0\\ 0khix<0\end{array}$

Câu 10:

A. $a=-2$ và $b=3$.

B. $a=-\frac{3}{2}$ và $b=2$.

C. $a=-3$ và $b=3$.

D. $a=\frac{3}{2}$ và $b=3$.

Hướng dẫn :

Chọn D.

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm $\left(-2;0\right),\left(0;3\right)$ nên ta có:

$\begin{array}{l}0=-2a+b\\ 3=b\end{array}\iff \begin{array}{l}a=\frac{3}{2}\\ b=3\end{array}$