Công thức phương trình chính tắc của Elip, các dạng bài tập và cách giải

Công thức viết phương trình chính tắc của Elip- Toán lớp 10

I. Lý thuyết về Elip

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định $F_1$và $F_2$và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$và $F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1)với $b^2=a^2-c^2$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

II. Các công thức

Từ các thông tin đề bài cho, ta tìm a, b dựa vào các công thức:

+ Hai tiêu điểm: $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0)

+ Bốn đỉnh: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$(0; -b) và $B_2$(0; b)

+ Độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

+ Độ dài trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b$

+ Tiêu cự: $F_1{F}_2=2c$

+ Tâm sai của (E): $e=\frac{c}{a}<1$

+ $b^2=a^2-c^2$

Từ đó tìm ra a và b để viết phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 6.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$(0; -b) và $B_2$(0; b)

Ta có độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a=12\Rightarrow a=6$

Ta có độ dài trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b=6\Rightarrow b=3$

Ta có phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{6^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\iff \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$.

Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 12 và tâm sai là 0,5 . Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Lời giải:

Bài 3: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 18, độ dài trục nhỏ là 10.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$(0; -b) và $B_2$(0; b)

Ta có độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a=18\Rightarrow a=9$

Ta có độ dài trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b=10\Rightarrow b=5$

Ta có phương trình chính tắc của elip:

$\frac{x^2}{9^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\iff \frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{25}=1$

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1.Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/3 .

A. = 1

B. = 1

C. = 1

D. = 1

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a,b > 0).

Tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/3 nên ⇒ a = 3c.

Lại có trục lớn bằng 6 nên 2a= 6 ⇔ a= 3

Mà a = 3c nên c = 1 ⇒ b² = a² - c² = 8

⇒ Phương trình chính tắc elip ( E) : = 1

Chọn B

Bài 2: Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là

M( 4; 3)

A. = 1

B. = 1

C. = 1

D. = 1

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a,b > 0).

Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở có tọa độ: ( a;b) ; ( a; - b); ( -a; -b) và (-a; b).

Ta có M(4; 3) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở nên chọn .

⇒ Phương trình elip ( E) : = 1.

Chọn A

Bài 3: Phương trình của Elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:

A. 9x² + 16y² = 144

B. = 1

C. 9x² + 16y² = 1

D. = 1

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a,b > 0).

Ta có độ dài trục lớn là 8 và độ dài trục nhỏ bằng 6 nên: ⇒

⇒ Phương trình elip ( E) : = 1 hay 9x² + 16y² = 144

Chọn A

Bài 4:

A. = 1

B. = 1

C. = 1

D. = 1

Lời giải

+ Ta có độ dài trục lớn là 26 nên 2a = 26 ⇔ a = 13

+ Tâm sai của elip (E): e =

⇔ c = 12

⇒ b² = a² – c² = 132- 122 = 25

Phương trình chính tắc của elip là: (E): = 1.

Chọn B

Bài 5: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 20, độ dài trục nhỏ là 14.

Bài 6: Cho elip (E) có tiêu cự là 18 và tâm sai là 0,5. Lập phương trình chính tắc của elip (E).