Bất phương trình bậc hai và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Bất phương trình bậc hai và cách giải bài tập – Toán lớp 10

1. Lý thuyết

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng $a{x}^2+bx+c<0$ (hoặc $a{x}^2+bx+c>0;$$a{x}^2+bx+c\le 0;a{x}^2+bx+c\ge 0$), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, $a\ne 0$.

- Giải bất phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c<0$ thực chất là tìm các khoảng mà trong đó $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0).

2. Các dạng toán

Dạng 3.1: Dấu của tam thức bậc hai

a. Phương pháp giải:

- Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng $a{x}^2+bx+c$. Trong đó a, b, c là nhứng số cho trước với $a\ne 0$.

- Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Cho $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$), $\Delta =b^2-4ac$.

Nếu $\Delta <0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi $x\in ℝ$

Nếu $\Delta =0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi $x=-\frac{b}{2a}$.

Nếu $\Delta >0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi $x<x_1$ hoặc $x>x_2$, trái dấu với hệ số a khi $x_1<x<x_2$ trong đó $x_1,x_2(x_1<x_2)$ là hai nghiệm của f(x).

Lưu ý: Có thể thay biệt thức $\Delta =b^2-4ac$ bằng biệt thức thu gọn $\Delta \text{'}={(b\text{'})}^2-ac$.

Ta có bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$) trong các trường hợp như sau:

Minh họa bằng đồ thị

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét dấu tam thức $f\left(x\right)=-x^2-4x+5$

Hướng dẫn:

Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt $x=1$, $x=-5$ và hệ số a = -1 < 0 nên:

f(x) > 0 khi $x\in (-5;1)$; f(x) < 0 khi $x\in (-\infty ;-5)\cup (1;+\infty )$.

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Ta có: $3x^2-10x+3=0\iff \begin{array}{c}x=3\\ x=\frac{1}{3}\end{array}$

và $4x-5=0\iff x=\frac{5}{4}.$

Lập bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

$f\left(x\right)\le 0\iff x\in \left(-\infty ;\frac{1}{3}\right]\cup \left.\frac{5}{4};3\right];f\left(x\right)\ge 0\iff x\in \left.\frac{1}{3};\frac{5}{4}\right]\cup \left.3;+\infty \right)$

Dạng 3.2: Giải và biện luận bất phương trình bậc hai

a. Phương pháp giải:

Giải và biện luận bất phương trình bậc hai

Ta xét hai trường hợp:

+) Trường hợp 1: a = 0 (nếu có).

+) Trường hợp 2: a $\ne$ 0, ta có:

Bước 1: Tính $\Delta$ (hoặc $\Delta \text{'}$)

Bước 2: Dựa vào dấu của $\Delta$ (hoặc $\Delta \text{'}$) và a, ta biện luận số nghiệm của bất phương trình

Bước 3: Kết luận.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Đặt $f\left(x\right)=x^2+2x+6m$

Ta có Δ' = 1 - 6m; a = 1. Xét ba trường hợp:

+) Trường hợp 1: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}<0\iff m>\frac{1}{6}$$\Rightarrow f\left(x\right)>0\forall x\in ℝ$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ$.

+) Trường hợp 2: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}=0\iff m=\frac{1}{6}$$\Rightarrow f\left(x\right)>0\forall x\in ℝ\text{{-1}\}$.

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ\text{{-1}\}$.

+) Trường hợp 3: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}>0\iff m<\frac{1}{6}$.

Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1=-1-\sqrt{1-6m}$; $x_2=-1+\sqrt{1-6m}$( dễ thấy $x_1<x_2$) $\Rightarrow f\left(x\right)>0khi\text{\hspace{0.33em}}x<x_1$ hoặc $x>x_2$. Suy ra nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;x_1\right)\cup \left(x_2;+\infty \right)$.

Vậy:

Với $m>\frac{1}{6}$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ$.

Với $m=\frac{1}{6}$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ\text{{-1}\}$.

Với $m<\frac{1}{6}$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;x_1\right)\cup \left(x_2;+\infty \right)$ với $x_1=-1-\sqrt{1-6m}$, $x_2=-1+\sqrt{1-6m}$.

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Đặt $f\left(x\right)=12x^2+2\left(m+3\right)x+m$, ta có a = 12 và ${\Delta }^{\text{'}}={(m-3)}^2\ge 0$

Khi đó, ta xét hai trường hợp:

+) Trường hợp 1: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}=0\iff m=3$, suy ra $f\left(x\right)\ge 0\forall x\in ℝ$. Do đó, nghiệm của bất phương trình là $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$.

+) Trường hợp 2: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}>0\iff m\ne 3$, suy ra f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1=-\frac{1}{2};x_2=-\frac{m}{6}$

Xét hai khả năng sau:

Khả năng 1: Nếu $x_1<x_2\iff m<3$

Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left.-\frac{1}{2};-\frac{m}{6}\right]$

Khả năng 2: Nếu $x_1>x_2\iff m>3$

Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left.-\frac{m}{6};-\frac{1}{2}\right]$

Vậy: Với m = 3 tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left.-\frac{1}{2}\right\}$.

Với m < 3 tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left.-\frac{1}{2};-\frac{m}{6}\right]$.

Với m > 3 tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left.-\frac{m}{6};-\frac{1}{2}\right]$.

Dạng 3.3: Bất phương trình chứa căn thức

a. Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

+) $\sqrt{f\left(x\right)}\le g\left(x\right)\iff \begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)\le g^2\left(x\right)\end{array}$

+) $\sqrt{f\left(x\right)}\ge g\left(x\right)\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}g\left(x\right)<0\\ f\left(x\right)\ge 0\end{array}\\ \begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)\ge g^2\left(x\right)\end{array}\end{array}$

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Ta có $\sqrt{x^2+2}\le x-1$

$\iff \begin{array}{l}x-1\ge 0\\ x^2+2\ge 0\\ x^2+2\le x^2-2x+1\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 1\\ 2x\le -1\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -\frac{1}{2}\end{array}$ (vô lý).

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Ta có: $\sqrt{x^2-2x-15}>2x+5$

$\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}{x}^2-2x-15\ge 0\\ 2x+5<0\end{array}\\ \begin{array}{l}2x+5\ge 0\\ x^2-2x-15>{\left(2x+5\right)}^2\end{array}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}\begin{array}{l}x\le -3\\ x\ge 5\end{array}\\ x<-\frac{5}{2}\end{array}\\ \begin{array}{l}x\ge -\frac{5}{2}\\ 3x^2+22x+40<0\end{array}\end{array}\iff \begin{array}{l}x\le -3\\ \begin{array}{l}x\ge -\frac{5}{2}\\ -4<x<-\frac{10}{3}\end{array}\end{array}\iff x\le -3.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S=\left(-\infty ;-3\right]$.

3. Bài tập tự luyện

3.1 Tự luận

Câu 1:

Hướng dẫn:

Xét $f\left(x\right)=2x^2-3x-15$.

$f\left(x\right)=0\iff x=\frac{3\pm \sqrt{129}}{4}$

Ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left.\frac{3-\sqrt{129}}{4};\frac{3+\sqrt{129}}{4}\right]$.

Do đó bất phương trình có 6 nghiệm nguyên là: -2; -1; 0; 1; 2; 3.

Câu 2:

Hướng dẫn:

Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt x = -2, x = 2 và hệ số a = 1 > 0 nên:

f(x) < 0 khi $x\in (-2;2)$; f(x) > 0 khi $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$.

Câu 3:

Hướng dẫn:

$x^2-4x+4=0\iff x=2$

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 với $\forall x\in ℝ\text{{}2\}$.

Câu 4: Giải bất phương trình $x\left(x+5\right)\le 2\left(x^2+2\right).$

Hướng dẫn:

Bất phương trình $x\left(x+5\right)\le 2\left(x^2+2\right)$

$\iff x^2+5x\le 2x^2+4\iff x^2-5x+4\ge 0$

Xét phương trình $x^2-5x+4=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(x-4\right)=0\iff \begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}.$

Lập bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $x^2-5x+4\ge 0$

$\iff x\in \left(-\infty ;1\right]\cup \left.4;+\infty \right).$

Câu 5:

Hướng dẫn:

Điều kiện:

$\begin{array}{l}{x}^2-4\ne 0\\ x+2\ne 0\\ 2x-x^2\ne 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne \pm 2\end{array}.$

Bất phương trình:

$\frac{x+3}{x^2-4}-\frac{1}{x+2}<\frac{2x}{2x-x^2}\iff \frac{x+3}{x^2-4}-\frac{1}{x+2}+\frac{2x}{x^2-2x}<0\iff \frac{2x+9}{x^2-4}<0.$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

$\frac{2x+9}{x^2-4}<0\iff x\in \left(-\infty ;-\frac{9}{2}\right)\cup \left(-2;2\right).$

Vậy chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x (x = 1) thỏa mãn yêu cầu.

Câu 6: Tìm các giá trị của m để biểu thức $f\left(x\right)=x^2+(m+1)x+2m+7>0\forall x\in ℝ$.

Hướng dẫn:

Ta có: $f\left(x\right)>0,\forall x\in ℝ\iff \begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}1>0\\ {\left(m+1\right)}^2-4\left(2m+7\right)<0\end{array}\iff m^2-6m-27<0\iff -3<m<9$

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình: $\left(m+1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+4\ge 0$(1) có tập nghiệm $S=ℝ$?

Hướng dẫn:

+) Trường hợp 1: $m+1=0\iff m=-1$

Bất phương trình (1) trở thành $4\ge 0\forall x\in R$ ( Luôn đúng) (*)

+) Trường hợp 2:$m+1\ne 0\iff m\ne -1$

Bất phương trình (1) có tập nghiệm $S=ℝ$

$\iff \begin{array}{c}a>0\\ \Delta \text{'}\le 0\end{array}\iff \begin{array}{c}m+1>0\\ \Delta \text{'}=m^2-2m-3\le 0\end{array}\iff -1<m\le 3\left(**\right)$

Từ (*) và (**) ta suy ra với thì bất phương trình có tập nghiệm $S=ℝ$.

Câu 8:

Hướng dẫn:

Vì tam thức bậc hai f(x) có hệ số a = -1 < 0 nên $f\left(x\right)<0,\forall x\in ℝ$ khi và chỉ khi ${\Delta }^{\text{'}}<0$

$\iff 1-\left(-1\right)\left(m-2018\right)<0\iff m-2017<0\iff m-2017<0$

Câu 9:

Hướng dẫn:

Ta có:$\sqrt{2x-1}\le 2x-3$

$\iff \begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ 2x-3\ge 0\\ 2x-1\le {\left(2x-3\right)}^2\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x\ge \frac{3}{2}\\ 4x^2-14x+10\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge \frac{3}{2}\\ \begin{array}{l}x\le 1\\ x\ge \frac{5}{2}\end{array}\end{array}\iff x\ge \frac{5}{2}$

Kết hợp điều kiện: $\begin{array}{l}x\in \left(0;7\right)\\ x\in \mathbb{Z}\end{array}$, suy ra $x\in \left.3;4;5;6\right\}$.

Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên thuộc khoảng (0; 7).

Câu 10:

Hướng dẫn:

$\sqrt{x^2+2017}\le \sqrt{2018}x\iff \begin{array}{l}{x}^2+2017\ge 0\\ x\ge 0\\ x^2+2017\le 2018x^2\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-1\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 0\\ \begin{array}{l}x\le -1\\ x\ge 1\end{array}\end{array}\iff x\ge 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $T=\left.1;+\infty \right)$.

3.2 Trắc nghiệm

Câu 1:

A. $\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}$.

B. $\begin{array}{l}a\le 0\\ \Delta <0\end{array}$.

C. $\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \ge 0\end{array}$.

D. $\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}$.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: $f\left(x\right)\le 0$ với $\forall x\in ℝ$ khi và chỉ khi $\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}$.

Câu 2:

A. a > 0, $\Delta >0$.

B. a < 0, $\Delta >0$.

C. a > 0, $\Delta =0$.

D. a < 0.$\Delta =0$

Hướng dẫn:

Chọn A.

Đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm quay lên nên a > 0 và đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nên $\Delta >0$.

Câu 3:

A. Nếu $\Delta >0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi $x\in ℝ$.

B. Nếu $\Delta <0$ thì f(x) luôn trái dấu với hệ số a, với mọi $x\in ℝ$.

C. Nếu $\Delta =0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi $x\in ℝ\backslash \left.-\frac{b}{2a}\right\}$.

D. Nếu $\Delta <0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số b, với mọi $x\in ℝ$.

Hướng dẫn:

Chọn C. Theo định lý về dấu tam thức bậc hai

Câu 4:

A. $\left(-\infty ;0\right]$.

B. $\left.6;+\infty \right)$.

C. $\left.8;+\infty \right)$.

D. $\left(-\infty ;-1\right]$.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Ta có $x^2-8x+7\ge 0\iff \begin{array}{l}x\le 1\\ x\ge 7\end{array}$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;1\right]\cup \left.7;+\infty \right)$.

Do đó $\left.6;+\infty \right)\not\subset S$.

Câu 5:

A. $-4\le m\le 4$.

B. $m\le -4$ hoặc $m\ge 4$.

C. $m\le -2$ hoặc $m\ge 2$.

D. $-2\le m\le 2$.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Phương trình $x^2+mx+4=0$ có nghiệm $\iff \Delta \ge 0$ $\iff m^2-16\ge 0$ $\iff m\le -4$hoặc $m\ge 4$.

Câu 6:

A. $m<3$.

B. $m\ge 3$.

C. $m\le -3$.

D. $m\le 3$.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Yêu cầu bài toán $\iff f\left(x\right)\ge 0,\forall x\in ℝ$

$\iff x^2+2\left(m-1\right)x+m^2-3m+4\ge 0,\forall x\in ℝ\iff {\Delta }^{\text{'}}={\left(m-1\right)}^2-\left(m^2-3m+4\right)\le 0\iff m-3\le 0$

Vậy $m\le 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 7:

A. $m\in \left.0;28\right]$.

B. $m\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(28;+\infty \right)$.

C. $m\in \left(-\infty ;0\right]\cup \left.28;+\infty \right)$.

D. $m\in \left(0;28\right)$.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4\left(8m+1\right)<0$

$\iff m^2-28m<0\iff 0<m<28$.

Câu 8:

A. $-5<x\le -3$.

B. $3<x\le 5$.

C. $2<x\le 3$.

D. $-3\le x\le -2$.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Ta có:

$\sqrt{-x^2+6x-5}>8-2x\iff \begin{array}{c}\begin{array}{c}-x^2+6x-5\ge 0\\ 8-2x<0\end{array}\\ \begin{array}{c}8-2x\ge 0\\ -x^2+6x-5>{\left(8-2x\right)}^2\end{array}\end{array}\iff \begin{array}{c}\begin{array}{c}1\le x\le 5\\ x>4\end{array}\\ \begin{array}{c}x\le 4\\ 3<x<\frac{23}{5}\end{array}\end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $3<x\le 5$.

Câu 9:

A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Ta có:

$\sqrt{2\left(x^2+1\right)}\le x+1\iff \begin{array}{l}x+1\ge 0\\ 2\left(x^2+1\right)\ge 0\\ 2\left(x^2+1\right)\le {\left(x+1\right)}^2\end{array}\iff \begin{array}{l}x+1\ge 0\\ x^2-2x+1\le 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x+1\ge 0\\ {\left(x-1\right)}^2\le 0\end{array}\iff x=1$

Vậy bất phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên.

Câu 10:

A. $x\le \frac{1}{3}$.

B. $-2<x<\frac{1}{3}$.

C. $\begin{array}{c}x\le \frac{1}{3}\\ x\ne -2\end{array}$.

D. $-2<x\le \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Điều kiện xác định: x > -2.

$\left(1\right)\iff 3\text{x}-1\le 0\iff x\le \frac{1}{3}$ (do $\sqrt{x+2}>0$ với mọi x > -2)

Kết hợp điều kiện $x>-2$ suy ra nghiệm của bất phương trình là $-2<x\le \frac{1}{3}$.