Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 (2024) đầy đủ, chi tiết

Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổng hợp.

1. Khái niệm bất đẳng thức:

Các mệnh đề dạng “a < b”, “a > b”, “$a\le b$” hoặc “$a\ge b$” được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả:

Nếu mệnh đề “$a<b\Rightarrow c<d$” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và viết là $a<b\Rightarrow c<d$.

3. Bất đẳng thức tương đương:

Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là $a<b\iff c<d$.

4. Tính chất của bất đẳng thức:

+ Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số (biểu thức): $a<b\iff a+c<b+c$

+ Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số (biểu thức), với c dương: $a<b\iff ac<bc$

+ Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số (biểu thức), với c âm: $a<b\iff ac>bc$

+ Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều: $\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\Rightarrow a+c<b+d$

+ Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều: Với a > 0, c > 0 : $\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\Rightarrow ac<bd$

+ Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa:

Với $n\in \mathbb{N}*$, $a<b\iff a^{2n+1}<b^{2n+1}$

Với $n\in \mathbb{N}*$ và a > 0, $a<b\iff a^{2n}<b^{2n}$

+ Khai căn hai vế của một bất đẳng thức:

$a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$(a > 0, b > 0)

$a<b\iff \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$

- Chú ý:

+ Các mệnh đề “a < b” hoặc “a > b” gọi là các bất đẳng thức ngặt.

+ Các mệnh đề “$a\le b$” hoặc “$a\ge b$” gọi là các bất đẳng thức không ngặt.

+ Các tính chất của bất đẳng thức đúng với cả bất đẳng thức ngặt và bất đẳng thức không ngặt.

II. Các công thức.

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1:

Lời giải:

Với $\forall x,y\ge 0\Rightarrow x+y\ge 0$

Ta có:

(luôn đúng $\forall x,y\ge 0$ vì $x+y\ge 0$ và ${(x-y)}^2\ge 0$)

Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 2: Cho số thực x, y. Chứng minh rằng:

a) $x^4+3\ge 4x$;

b) $x\ge y\iff x^5\ge y^5$;

c) $xy\le \frac{x^2+y^2}{2}$.

Lời giải:

a)

$\iff {(x-1)}^2\left.{(x+1)}^2+2\right]\ge 0(*)$

Có: ${(x-1)}^2\ge 0\forall x\in ℝ$

${(x+1)}^2\ge 0\iff {(x+1)}^2+2\ge 2\Rightarrow {(x+1)}^2+2>0\forall x\in ℝ$

$\Rightarrow$(*) luôn đúng với mọi số thực x.

$\Rightarrow x^4+3\ge 4x\forall x\in ℝ$ (điều cần phải chứng minh)

b)

$x\ge y\iff x^{2.2+1}\ge y^{2.2+1}$

$\iff x^5\ge y^5$ (điều cần phải chứng minh)

c)

$\iff {(x-y)}^2\ge 0$ (luôn đúng với mọi số thực x, y)

$\Rightarrow xy\le \frac{x^2+y^2}{2}$ với mọi số thực x, y (điều cần phải chứng minh).

Bài 3:

a) $\sqrt{27}$ và $\sqrt{34}$;

b) $\sqrt[3]{78}$ và $\sqrt[3]{3}$.

Lời giải:

a)

Có: 27 < 34

$\iff \sqrt{27}<\sqrt{34}$

b)

Có: 78 > 3

$\iff \sqrt[3]{78}>\sqrt[3]{3}$

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1:

Bài 2: