Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và bài tập (2024) hay nhất

Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và bài tập hay nhất

A. Lí thuyết tổng hợp

- Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thường có dạng:

$\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)};\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right);\sqrt{f\left(x\right)}+\sqrt{g\left(x\right)}=\sqrt{h\left(x\right)};\frac{1}{\sqrt{f\left(x\right)}}=g\left(x\right);\dots ..$

- Điều kiện xác định của $\sqrt{f\left(x\right)}$ là $f\left(x\right)\ge 0$

- Điều kiện xác định của $\frac{A}{\sqrt{f\left(x\right)}}$ là $f\left(x\right)>0$, với A là một số hoặc một biểu thức.

B. Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta có các phương pháp:

- Bình phương hai vế. (phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả nên khi tìm ra nghiệm x ta cần thay lại phương trình để kiểm tra).

- Các phép biến đổi tương đương:

$\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}\iff \begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\left(g\left(x\right)\ge 0\right)\\ f\left(x\right)=g\left(x\right)\end{array}\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\iff \begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)=g^2\left(x\right)\end{array}\sqrt{f\left(x\right)}+\sqrt{g\left(x\right)}=\sqrt{h\left(x\right)}\iff \begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)+g\left(x\right)+2\sqrt{f\left(x\right).g\left(x\right)}=h\left(x\right)\end{array}$

- Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai.

- Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc phương trình tích.

C. Ví dụ minh họa

Bài 1:

Lời giải:

Điều kiện xác định :

$\begin{array}{l}5x+6\ge 0\\ 4x+3\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge \frac{-6}{5}\\ x\ge \frac{-3}{4}\end{array}\iff x\ge \frac{-3}{4}$

Với điều kiện xác định trên ta có:

$\sqrt{5x+6}=\sqrt{4x+3}$

$\Rightarrow$ 5x + 6 = 4x + 3

$\iff$ x = –3 ( không thỏa mãn điều kiện xác định )

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 2:

Lời giải:

Ta có:$\sqrt{3x+7}=x+3$

$\iff \begin{array}{l}x+3\ge 0\\ 3x+7={(x+3)}^2\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge -3\\ 3x+7=x^2+6x+9\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge -3\\ x^2+3x+2=0\end{array}$

Xét phương trình $x^2+3x+2=0$ ta có: 1 – 3 + 2 = 0

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=-1$ (thỏa mãn điều kiện)

$x_2=\frac{-2}{1}=-2$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {–1; –2}.

Bài 3:

Lời giải:

Điều kiện xác định:$x\ge -1$

Đặt ẩn phụ $t=\sqrt{x+1}$ ($t\ge 0$)

$\Rightarrow t^2=x+1\Rightarrow x=t^2-1$

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

$t^2-1-t-5=0\iff t^2-t-6=0$

Xét phương trình $t^2-t-6=0$ có:

$\Delta ={(-1)}^2-\mathrm{4.1.}(-6)=25$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$t_1=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2.1}=3$ ;

$t_2=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2.1}=-2$ ( không thỏa mãn điều kiện $t\ge 0$)

Với $t_1=3$ ta có:

$\sqrt{x+1}=3\Rightarrow x+1=3^2\iff x=8$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {8}.

Bài 4:

Lời giải:

Điều kiện xác định: x > –4

Với điều kiện xác định trên ta có:

$\frac{1}{\sqrt{x+4}}=2\iff \frac{1}{\sqrt{x+4}}=\frac{2\sqrt{x+4}}{\sqrt{x+4}}\Rightarrow 1=2\sqrt{x+4}\iff \sqrt{x+4}=\frac{1}{2}\Rightarrow x+4=\frac{1}{4}$

$\iff x=\frac{-15}{4}$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left.\frac{-15}{4}\right\}$.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1:

A. x + 2 = 3x

B. 2x + 2 = 0

C.$x^2-4x+5=0$

D.$\sqrt{x+4}-5x=3$

Đáp án: D

Bài 2:

A. f (x) < 0

B. f (x) > 0

C. $f\left(x\right)\ge 0$

D. f (x) = 0

Đáp án: C

Bài 3:

Đáp án: Tập nghiệm $S=\left.\frac{1+\sqrt{41}}{4};\frac{1-\sqrt{41}}{4}\right\}$

Bài 4:

Đáp án: Tập nghiệm S = {1}

Bài 5:

Đáp án: Tập nghiệm $S=\left.5+\sqrt{14}\right\}$

Bài 6:

Đáp án: Phương trình vô nghiệm

Bài 7:

Đáp án: Tập nghiệm $S=\left.\frac{\sqrt{11}}{2}\right\}$

Bài 8:

Đáp án: Tập nghiệm $S=\left.\frac{28+2\sqrt{298}}{81}\right\}$

Bài 9:

Đáp án: Phương trình vô nghiệm

Bài 10:

Đáp án: Tập nghiệm S = {0}