Tích của vectơ với một số và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Tích của vectơ với một số và cách giải bài tập – Toán lớp 10

A. Lí thuyết.

- Tích của vectơ với một số: Cho số k$\ne$0 và vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Tích của vectơ $\overrightarrow{a}$ với số k là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$, cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0, ngược lại, ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $\left.k\right|\left.\overrightarrow{a}\right|$.

- Tính chất: Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bất kì, với mọi số h và k, ta có:

- Quy tắc trung điểm: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

- Quy tắc trọng tâm: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

- Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$) ,$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.

- Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có tồn tại một số k khác 0 để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

- Chú ý: Đối với vectơ – không : $0.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$; $k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

B. Các dạng bài.

Dạng 1: Tính độ dài vectơ khi biết tích vectơ với một số.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tích của vectơ với một số, các quy tắc về tổng, hiệu của các vectơ và các hệ thức lượng, định lý Py-ta-go để tính độ dài vectơ đó.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Giải:

Ta có: $CM=\frac{1}{2}CB$ (do M là trung điểm BC) và B, C, M thẳng hàng.

$\Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CM}\Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CA}\Rightarrow \left.\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}\right|=\left.\overrightarrow{CA}\right|=CA=a$

(ABC là tam giác đều cạnh a)

Bài 2:

Giải:

+) Vì B, O, D thẳng hàng và $OD=\frac{1}{2}BD$ (do O là tâm hình vuông ABCD)

$\Rightarrow \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$

+) Vì A, O, C thẳng thàng và $OC=\frac{1}{2}AC$ (do O là tâm hình vuông ABCD)

$\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

+) Ta có: $\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}$

+) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}$.

+) Xét hình bình hành OCMD có:

$\widehat{COD}={90}^o$

OC = OD

$\Rightarrow$OCMD là hình vuông.

+) Xét tam giác DAB vuông tại A

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

+) Xét tam giác ODM vuông tại D

DM = OC = $a\sqrt{2}$( do OCMD là hình vuông)

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Dạng 2: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước.

Phương pháp giải:

Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}$ trong đó A là một điểm cố định, $\overrightarrow{u}$ cố định và dựng điểm M là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}$.

Ví dụ minh họa

Bài 1:

Giải:

Vậy ta dựng được điểm C thỏa mãn C, A, B thẳng hàng và $CA=\frac{2}{5}AB$.

Bài 2:

Giải:

+) Ta có: $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=-2\overrightarrow{KC}$

$\iff \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=2\overrightarrow{CK}$ (1)

+) Gọi I là trung điểm của AB. $\Rightarrow \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=2\overrightarrow{KI}$ (2)

+) Từ (1) và (2) $\Rightarrow 2\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{KI}$ $\iff \overrightarrow{CK}=\overrightarrow{KI}$

Vậy ta dựng được điểm K là trung điểm của CI.

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1:

Đáp án:

Bài 2:

Đáp án:

Bài 3:

Đáp án:

Bài 4:

Đáp án:

Bài 5:

Đáp án:

Bài 6:

Đáp án:

Bài 7:

Đáp án:

Bài 8:

Đáp án:

Bài 9:

Đáp án:

Bài 10:

Đáp án: