Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối (2025) chi tiết nhất

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp

1. Nhắc lại về trị tuyệt đối

Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của một số a, được ký hiệu là |a|. Giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách từ số đó đến số 0 trên trục số. Giá trị tuyệt đối của một số luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

Một số ví dụ về giá trị tuyệt đối của một số.

Ví dụ 1: Giá trị tuyệt đối của 5 là 5. Ký hiệu: |5|=5

Ví dụ 2: Giá trị tuyệt đối của -1 là 1. Ký hiệu: |-1|=1

Ví dụ 3: Giá trị tuyệt đối của 0 là 0. Ký hiệu: |0|=0

Từ định nghĩa và các ví dụ trên, ta rút ra được kết luận sau đây:

- Khi x > 0, ta có |x| = x.

- Khi x < 0, ta có |x| = -x.

- Khi x = 0, ta có |x| = |0| = 0

2. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất như sau:

Với mọi số thực x có: $\left.x\right|\ge 0$,$\left.x\right|\ge x,$ $\left.x\right|\ge -x$

Với mọi số thực x và số thực a > 0 có:

$\left.x\right|\le a\iff -a\le x\le a$

$\left.x\right|\ge a\iff x\le -a$ hoặc $x\ge a$

Với mọi số thực a, b có:

$\left.a\right|-\left.b\right|\le \left.a+b\right|\le \left.a\right|+\left.b\right|$

II. Các công thức

$\left.a\right|-\left.b\right|\le \left.a+b\right|$ (Dấu bằng xảy ra khi $\left.a\right|\ge \left.b\right|$ và $a.b\le 0$)

$\left.a\right|+\left.b\right|\ge \left.a+b\right|$ (Dấu bằng xảy ra khi $a.b\ge 0$)

III. Ví dụ minh họa

Bài 1:

Lời giải:

Ta có:

$\left.x-2\right|=\left.-(x-2)\right|=\left.2-x\right|$

Mặt khác:

$\left.x-1\right|+\left.2-x\right|\ge \left.x-1+2-x\right|$

$\iff \left.x-1\right|+\left.2-x\right|\ge 1$

$\iff \left.x-1\right|+\left.x-2\right|\ge 1\forall x\in ℝ$ (điều cần phải chứng minh)

Bài 2:

Lời giải:

(điều cần phải chứng minh).

Bài 3:

Lời giải:

Ta có: $\left.x\right|\ge -x$

$\Rightarrow x+\left.x\right|\ge x+(-x)$

$\iff x+\left.x\right|\ge 0\forall x\in ℝ$(điều cần phải chứng minh).

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1:

Bài 2: