Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng - Toán lớp 10

Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng- Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Định nghĩa hệ số góc của đường thẳng: Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox, T là điểm thuộc d nằm trên Ox, khi đó hệ số góc của đường thẳng d là $k=\tan \widehat{TAx}$.

- Định nghĩa vectơ chỉ phương: Vectơ $\overrightarrow{u}$($\overrightarrow{u}\ne 0$) là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$nếu giá của vectơ $\overrightarrow{u}$song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$.

- Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng:

+ Nếu đường thẳng d có hệ số góc k thì có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(1;k)$

+ Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$với $a\ne 0$thì có hệ số góc là $k=\frac{b}{a}$.

II. Các công thức.

Cho đường thẳng d có hệ số góc k và vectơ chỉ phương

+) Cho k $\Rightarrow \overrightarrow{u}=(1;k)$

+) Cho $\overrightarrow{u}=(a;b)$($a\ne 0$) $\Rightarrow k=\frac{b}{a}$

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho đường thẳng d: $\begin{array}{l}x=3-t\\ y=1+2t\end{array}$. Tìm hệ số góc của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: $\begin{array}{l}x=3-t\\ y=1+2t\end{array}$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-1;2)$

$\Rightarrow$ Hệ số góc k của đường thẳng d là: $k=\frac{2}{-1}=-2$

Bài 2: Cho đường thẳng d: 3x – 2y + 3 = 0. Tìm hệ số góc k của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 3x – 2y + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(3;-2)$

$\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(2;3)$

$\Rightarrow$ Hệ số góc k của đường thẳng d là: $k=\frac{3}{2}$

Bài 3: Cho đường thẳng d có hệ số góc là k = 2 và đi qua điểm A(1; 1). Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết d có hệ số góc là k = 2 $\Rightarrow$Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\overrightarrow{u}=(1;2)$

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1), ta có phương trình tham số của d là $\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\end{array}$

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho đường thẳng d: $\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=3+5t\end{array}$. Tìm hệ số góc của đường thẳng d.

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm B(0; 1) và có hệ số góc k = 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.