Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất - Toán lớp 10

Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất- Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Định nghĩa vectơ chỉ phương: Vectơ $\overrightarrow{u}$($\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$) là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$nếu giá của vectơ $\overrightarrow{u}$song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$.

- Chú ý:

+ Nếu $\overrightarrow{u}$là vectơ chỉ phương của $\Delta$thì k$\overrightarrow{u}$($k\ne 0$)cũng là vectơ chỉ phương của .

+ Nếu đường thẳng $\Delta$có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b)$thì đường thẳng đó có các vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$, $\overrightarrow{u\text{'}}=(-b;a)$

II. Các công thức.

- Cho đường thẳng $\Delta$đi qua hai điểm A và B có: $\overrightarrow{AB}$là vectơ chỉ phương của

- Cho $\overrightarrow{u}$là vectơ chỉ phương của $\Delta$$\Rightarrow$k$\overrightarrow{u}$($k\ne 0$)là vectơ chỉ phương của .

- Cho đường thẳng $\Delta$ : $\begin{array}{l}x=x_0+u_{1}t\\ y=y_0+u_{2}t\end{array}\Rightarrow$Vectơ chỉ phương của $∆$là $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$

- Cho đường thẳng $\Delta$có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b)$thì đường thẳng đó có các vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$, $\overrightarrow{u\text{'}}=(-b;a)$

- Cho đường thẳng dvà d’. Biết $d\perp d\text{'}$: Nếu d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n\text{'}}=(a;b)$thì vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(a;b)$

- Cho đường thẳng d và d’. Biết d // d’ : Nếu d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n\text{'}}=(a;b)$thì vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(-b;a),\overrightarrow{u}=(b;-a)$

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(4; 5). Xác định 3 vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải:

Do đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(4; 5) nên ta có:

$\overrightarrow{AB}$= (4 – 1; 5 – 3) = (3; 2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

k$\overrightarrow{AB}$($k\ne 0$) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Chọn k = 2, ta có vectơ chỉ phương : $\overrightarrow{u_2}=2\overrightarrow{AB}=(6;4)$

Chọn k = 3, ta có vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{u_3}=3\overrightarrow{AB}=(9;6)$

Bài 2: Cho đường thẳng d: $\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-2-5t\end{array}$. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$là vectơ chỉ phương của d.

Ta có d: $\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-2-5t\end{array}$ $\Rightarrow \begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_2=-5\end{array}$

Vậy vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(3;-5)$

Bài 3: Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (1; 2). Tìm 2 vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (1; 2)

$\Rightarrow$Vectơ chỉ phương $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$= (2; -1)và $\overrightarrow{u}=(-2;1)$

Bài 4: Cho hai đường thẳng d và d’. Tìm vectơ chỉ phương của d. Biết $d\perp d\text{'}$và vectơ pháp tuyến của d’ là $\overrightarrow{n\text{'}}=(1;5)$.

Lời giải:

Do $d\perp d\text{'}$và vectơ pháp tuyến của d’ là $\overrightarrow{n\text{'}}=(1;5)$nên ta có:

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(1;5)$

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho đường thẳng d’ trong các trường hợp sau. Tìm vectơ chỉ phương của d’ trong các trường hợp đó.

a) d’ đi qua điểm A(0; 1) và B(2; 7).

b) d’ trùng với trục hoành.

Bài 2: Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là  $\overrightarrow{n}$= (-3; 4). Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d.