Cách phân tích vectơ và phương pháp giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Cách Phân tích vectơ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 10

A. Lí thuyết.

- Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho $\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$.

Ôn lại các quy tắc: Quy tắc ba điểm, quy tắc trừ, quy tắc hình bình hành.

Ôn lại các tính chất: Tính chất phép cộng vectơ, tích của vectơ với một số, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác.

B. Các dạng bài.

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải:

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Giải:

+) Ta có M là trung điểm của BC $\Rightarrow \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DM}$.

$\Rightarrow 2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{DM}\iff 2(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DM})=2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$ ( điều cần phải chứng minh)

+) Ta có M là trung điểm của BC $\Rightarrow \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OM}$

Mà D là trung điểm của AM $\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OD}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OM}=2(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM})=2.2\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OD}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}$ (điều cần phải chứng minh)

Bài 2:

Giải:

Ta có:

(điều cần phải chứng minh)

Dạng 2: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

Phương pháp giải:

Áp dung định nghĩa về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Giải:

+) Có FE là đường trung bình của tam giác ABC $\Rightarrow$ FE // BC.

$\Rightarrow$Tam giác AFE đồng dạng với tam giác ABC.

Mà AD là trung tuyến của tam giác ABC$\Rightarrow$ AI là trung tuyến của tam giác AFE.

$\Rightarrow$I là trung điểm của FE.

$\Rightarrow \overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AI}\iff \overrightarrow{AI}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AE})=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\overrightarrow{AF}+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\overrightarrow{AE}$

Bài 2:

Giải:

Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Ba điểm A, B, C thẳng hàng $\iff \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$. Để chứng minh điều này ta áp dụng các quy tắc biến đổi vectơ (quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm) hoặc xác định hai vectơ trên thông qua tổ hợp trung gian.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Giải:

Vậy B, C, D thẳng hàng.

Bài 2:

Giải:

Vậy B, I, J thẳng hàng.

Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng nhau.

Phương pháp giải:

Để chứng minh M và M’ trùng nhau, ta chứng minh $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{0}$ hoặc chứng minh $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}\text{'}$ với O tùy ý.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Giải:

Gọi trọng tâm của tam giác ANP là G. Ta có:

Vậy G vừa là trọng tâm của tam giác ANP vừa là trọng tâm của tam giác CMQ.

Bài 2:

Giải:

Khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ thì ABCD là hình bình hành.

$\Rightarrow$Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I là tâm hình bình hành ABCD.

$\Rightarrow$Trung điểm của AC và BD trùng nhau ( cùng là I).

Dạng 5: Quỹ tích điểm.

Phương pháp giải:

Đối với bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:

Nếu $\left.\overrightarrow{MA}\right|=\left.\overrightarrow{MB}\right|$ với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.

Nếu $\left.\overrightarrow{MC}\right|=k\left.\overrightarrow{AB}\right|$ với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng $k.\left.\overrightarrow{AB}\right|$.

Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$ thì M thuộc đường thẳng qua A song song với BC nếu $k\in ℝ$; M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ nếu k > 0; M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$ nếu k < 0.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Giải:

Ta có:

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I bán kính $R=\frac{1}{3}BC$.

Bài 2:

Giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm của BC.

Ta có: $\left.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\frac{3}{2}\left.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$

$\iff \left.3\overrightarrow{MG}\right|=\frac{3}{2}\left.2\overrightarrow{MD}\right|\iff \left.\overrightarrow{MG}\right|=\left.\overrightarrow{MD}\right|$

Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng GD.

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1:

Đáp án:

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{JD}=2\overrightarrow{IJ}$

Bài 2:

Đáp án:

$-\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MC}\iff 2\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\iff 3\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}\iff \overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$

Bài 3:

Đáp án:

$\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\iff \overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ON}+\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{BN}$

$\iff \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BN}$ (luôn đúng)

Bài 4:

Đáp án:

Bài 5:

Đáp án:

$\overrightarrow{AI}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{CB}$

Bài 6:

Đáp án:

$\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}(2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$ ;

$\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}(2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$

$\Rightarrow \overrightarrow{BK}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BI}\Rightarrow$B, K, I thẳng hàng.

Bài 7:

Đáp án:

$2\overrightarrow{JA}+5\overrightarrow{JB}+3\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 4\overrightarrow{JM}+6\overrightarrow{JN}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{JM}=\frac{-3}{2}\overrightarrow{JN}$

$\Rightarrow$ M, N, J thẳng hàng.

Bài 8:

Đáp án:

$\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}=\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow$ G vừa là trọng tâm tam giác MPR vừa là trọng tâm tam giác NQS.

Bài 9:

Đáp án:

Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A’B’C’.

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{\text{AA'}}\text{ +}\overrightarrow{\text{BB'}}\text{+}\overrightarrow{\text{CC'}}\text{=}\overrightarrow{\text{0}}\Rightarrow \overrightarrow{GG\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Vậy điểm G và G’ trùng nhau.

Bài 10:

Đáp án: Tập hợp điểm M là đường trung trực của EF (E, F là trung điểm của AB, AC)

Bài 11:

Đáp án: