Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng (hay, chi tiết nhất)

Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhấ

I. Lý thuyết tổng hợp

- Định nghĩa vectơ pháp tuyến: Vectơ $\overrightarrow{n}$($\overrightarrow{n}\ne 0$) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$nếu giá của vectơ $\overrightarrow{n}$vuông góc với đường thẳng $\Delta$.

- Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Cho đường thẳng d đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b)$, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d được viết dưới dạng:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

$\iff ax+by+c=0$ (với $c=-a{x}_0-b{y}_0$).

II. Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng

- Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng d:

+ Tìm vectơ pháp tuyến của d là: $\overrightarrow{n}=(a;b)$

+ Tìm một điểm thuộc vào d là: $M_0(x_0;y_0)$

+ Viết phương trình tổng quát của d như sau:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

$\iff ax+by+c=0$ ($c=-a{x}_0-b{y}_0$)

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua điểm A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;3)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;3)$, ta có phương trình tổng quát của d là:

$1(x-1)+3(y-3)=0$

$\iff x-1+3y-9=0$

$\iff x+3y-10=0$

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm B(3; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(-2;3)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-2;3)$

$\Rightarrow$Vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(3;2)$

Đường thẳng d đi qua điểm B(3; 5) , ta có phương trình tổng quát:

$3(x-3)+2(y-5)=0$

$\iff 3x-9+2y-10=0$

$\iff 3x+2y-19=0$

Bài 3: Cho đường thẳng d đi qua điểm C(1; 0) và song song với đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n\text{'}}=(2;-5)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Vì d // d’ nên vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}$có: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n\text{'}}=(2;-5)$

Đường thẳng d đi qua C(1; 0) , ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

$2(x-1)-5(y-0)=0$

$\iff 2x-5y-2=0$

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua điểm M(4; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-1)$. Viết phương trình tổng quát của d.

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm N(3; -1) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-2;2)$. Viết phương trình tổng quát của d.

Bài 3: Đường thẳng đi qua A(1; -2) , nhận$\overrightarrow{n}$= (1; -2) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

A. x - 2y + 1 = 0.

B. 2x + y = 0

C. x - 2y - 5 = 0

D. x - 2y + 5 = 0

Lời giải

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và nhận $\overrightarrow{n}$ = (1; -2) làm VTPT

=>Phương trình đường thẳng (d) : 1(x - 1) - 2(y + 2) = 0 hay x - 2y – 5 = 0

Chọn C.

Bài 4: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua M(1; -3) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

A. ∆: x + 2y + 5 = 0

B. ∆: x + 2y – 5 = 0

C. ∆: 2x + y + 1 = 0

D. Đáp án khác

Lời giải

Đường thẳng ∆: qua M( 1; -3) và VTPT n$\overrightarrow{n}$(1; 2)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 1(x - 1) + 2(y + 3) = 0

Hay x + 2y + 5 = 0

Chọn A.

Bài 5: Cho đường thẳng (d): x-2y + 1= 0 . Nếu đường thẳng (∆) đi qua M(1; -1) và song song với d thì ∆ có phương trình

A. x - 2y - 3 = 0

B. x - 2y + 5 = 0

C. x - 2y +3 = 0

D. x + 2y + 1 = 0

Lời giải

Do đường thẳng ∆// d nên đường thẳng ∆ có dạng x - 2y + c = 0 (c ≠ 1)

Ta lại có M(1; -1) ∈ (∆) ⇒ 1 - 2(-1) + c = 0 ⇔ c = -3

Vậy phương trình ∆: x - 2y - 3 = 0

Chọn A

Bài 6: Cho ba điểm A(1; -2); B(5; -4) và C(-1;4) . Đường cao AA’ của tam giác ABC có phương trình

A. 3x - 4y + 8 = 0

B. 3x – 4y - 11 = 0

C. -6x + 8y + 11 = 0

D. 8x + 6y + 13 = 0

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{BC}$ = (-6; 8)

Gọi AA’ là đường cao của tam giác ABC

⇒ AA' nhận VTPT $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{BC}$ = (-6; 8) và qua A(1; -2)

Suy ra phương trình AA’: -6(x - 1) + 8(y + 2) = 0

Hay -6x + 8y + 22 = 0 ⇔ 3x - 4y - 11 = 0.

Chọn B