Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (2024) chi tiết nhất

Phương pháp xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

- Cho K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng, y = f(x) là hàm số xác định trên K.

+ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x thuộc K thì khi x tăng f(x) cùng tăng, khi x giảm f(x) cùng giảm.

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x thuộc K thì khi x tăng f(x) giảm, khi x giảm f(x) tăng.

- Lưu ý.

+ Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên.

+ Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

+ Hàm số bậc nhất y = ax + b luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên .

II. Các công thức

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy $x_1,x_2\in K$ và $x_1<x_2$.

Đặt T = $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$. Ta có:

T > 0 $\iff$ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K

T < 0 $\iff$ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy $x_1,x_2\in K$ và $x_1\ne x_2$.

Đặt $T=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$. Ta có:

T > 0 $\iff$ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K

T < 0 $\iff$ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K

- Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên.

- Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

III. Ví dụ minh họa

Bài 1:

Lời giải:

- Điều kiện xác định của hàm số $y=f\left(x\right)=x+1-\frac{2}{x-3}$ là:$x-3\ne 0\iff x\ne 3$

Tập xác định của hàm số y = f(x) là: $D=R\backslash \text{{}3\}$

Hàm số $y=f\left(x\right)=x+1-\frac{2}{x-3}$ xác định trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$

- Lấy $x_1,x_2\in (3;+\infty )$ và $x_1\ne x_2$. Đặt $T=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$

$\Rightarrow T=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{x_1+1-\frac{2}{x_1-3}-\left(x_2+1-\frac{2}{x_2-3}\right)}{x_1-x_2}=\frac{x_1+1-\frac{2}{x_1-3}-x_2-1+\frac{2}{x_2-3}}{x_1-x_2}=\frac{x_1-x_2-2\left(\frac{1}{x_1-3}-\frac{1}{x_2-3}\right)}{x_1-x_2}=\frac{x_1-x_2-2\left.\frac{x_2-3-x_1+3}{(x_1-3)(x_2-3)}\right]}{x_1-x_2}=\frac{x_1-x_2-2\left.\frac{x_2-x_1}{(x_1-3)(x_2-3)}\right]}{x_1-x_2}=\frac{x_1-x_2+2\left.\frac{x_1-x_2}{(x_1-3)(x_2-3)}\right]}{x_1-x_2}=\frac{1+\frac{2}{(x_1-3)(x_2-3)}}{1}=1+\frac{2}{(x_1-3)(x_2-3)}$

Ta thấy trong khoảng $\left(3;+\infty \right)$ thì T luôn xác định.

Với $x_1,x_2\in (3;+\infty )$

$\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_1-3>0\\ x_2-3>0\end{array}\Rightarrow T=1+\frac{2}{(x_1-3)(x_2-3)}>0$

Hàm số $y=f\left(x\right)=x+1-\frac{2}{x-3}$ đồng biến trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$.

Bài 2:

Lời giải:

Hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-4$ xác định trên R

$\Rightarrow$ Hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-4$ xác định trên khoảng $(-\infty ;0)$

Lấy $x_1,x_2\in (-\infty ;0)$ và $x_1<x_2$

$\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_2-x_1>0\\ x_1+x_2<0\end{array}$ (1)

Ta có: $T=f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$

$=({x_2}^2-4)-({x_1}^2-4)={x_2}^2-{x_1}^2=(x_2-x_1)(x_1+x_2)$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow T<0$$\Rightarrow$ Hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-4$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$

Bài 3:

Lời giải:

Ta thấy khi thì đồ thị của hàm số y = f(x) đi lên

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (2; 4)

Ta thấy khi thì đồ thị của hàm số y = f(x) đi xuống

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [-4; -2]

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1:

Bài 2: