Cách xét tính chẵn, lẻ của hàm số (2024) chi tiết nhất

Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

- Tập đối xứng: $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ thì ta gọi D là tập đối xứng.

- Khái niệm: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D với D là tập đối xứng.

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D thì f(x) = f(-x)

+ Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D thì f(x) = - f(-x)

- Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.

- Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ:

+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

II. Các công thức

- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D là tập đối xứng:

+ Hàm số chẵn $\iff \begin{array}{l}\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\\ f\left(x\right)=f(-x)\end{array}$

+ Hàm số lẻ $\iff \begin{array}{l}\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\\ f\left(x\right)=-f(-x)\end{array}$- Phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số: Cho hàm số y = f(x):

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.

Bước 2: Kiểm tra xem D có phải là tập đối xứng không:

Nếu $\exists x_0\in D\Rightarrow -x_0\notin D\Rightarrow$D không phải tập đối xứng $\Rightarrow$Hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Nếu $\forall x_0\in D\Rightarrow -x_0\in D\Rightarrow$D là tập đối xứng $\Rightarrow$Chuyển sang bước tiếp theo.

Bước 3: Xác định f($x_0$) và f(-$x_0$) và so sánh:

Nếu f($x_0$) = f(-$x_0$) $\Rightarrow$ Hàm số là chẵn.

Nếu f($x_0$) = - f(-$x_0$) $\Rightarrow$ Hàm số là lẻ.

Nếu$\exists x_0\in D\Rightarrow f(-x_0)\ne \pm f\left(x_0\right)\Rightarrow$ Hàm số không chẵn cũng không lẻ

III. Ví dụ minh họa

Bài 1:

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = xác định trên

$\Rightarrow$Tập xác định D = R

Ta có: $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$

Xét:

f(x) = $\sqrt[3]{x}+x^3$

f(-x) = $\sqrt[3]{(-x)}+{(-x)}^3=\sqrt[3]{(-1)x}+{(-1)}^3.x^3=-\sqrt[3]{x}-x^3=-\left(\sqrt[3]{x}+x^3\right)$

$\Rightarrow f(-x)=-f\left(x\right)$

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) = $\sqrt[3]{x}+x^3$ là hàm số lẻ.

Bài 2:

Lời giải:

Ta có: $\forall x\in ℝ\Rightarrow x^2+4>0$

$\Rightarrow$Tập xác định của hàm số y = f(x) = $x^4+\sqrt{x^2+4}$ là $D=ℝ$

$\Rightarrow \forall x\in D\Rightarrow -x\in D$

Xét:

f(x) = $x^4+\sqrt{x^2+4}$

f(-x) = ${(-x)}^4+\sqrt{{(-x)}^2+4}$

$={(-1)}^4.x^4+\sqrt{{(-1)}^2{x}^2+4}=x^4+\sqrt{x^2+4}\Rightarrow f(-x)=f\left(x\right)$

$\Rightarrow$Hàm số y = f(x) = $x^4+\sqrt{x^2+4}$là hàm số chẵn.

Bài 3:

Lời giải:

Điều kiện xác định của hàm số: y = f(x) = $\sqrt{2-x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}$là: $2-x>0\iff x<2$

$\Rightarrow$Tập xác định $D=(-\infty ;2)$

Với $x_0=-3\in D$ nhưng $-x_0=3\notin D$

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) = $\sqrt{2-x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}$ không chẵn cũng không lẻ.

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1:

a) $f\left(x\right)=\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3}$

b) $f\left(x\right)=\frac{x^2}{4}-\sqrt{x^4+2}$

Bài 2: