50 bài toán về ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (có đáp án 2024) – Toán 12

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và cách giải - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT.

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f\left(x\right)\right|dx$ (1)

Chú ý: Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối:

Muốn xét dấu của biểu thức f(x) ta thường có một số cách làm như sau:

Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu cho f(x) với ghi nhớ qua nghiệm bội lẻ f(x) đổi dấu, qua nghiệm bội chẵn f(x) không đổi dấu.

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó:

- Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành thì $f\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left.a;b\right]$.

- Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới trục hoành thì $f\left(x\right)\le 0,\forall x\in \left.a;b\right]$.

Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu trên [a; b] thì ta có: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f\left(x\right)\right|d\text{x}=\left.\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\right|$

Cách 4: Sử dụng máy tính CASIO, tuy nhiên xu hướng ra đề thi THPT Quốc gia sẽ hạn chế CASIO nên cần chú ý cách giải tổng quát và hiểu rõ bản chất!

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Khi đó diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

Tương tự như chú ý ở trên thì ở bài toán này ta cũng phải xét đoạn mà dấu của $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ không đổi.

Chú ý:

- Giả sử phương trình có hai nghiệm $c;d\left(c<d\right)$. Khi đó $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ không đổi dấu trên các đoạn $\left.a;b\right],\left.c;d\right],\left.d;b\right]$. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn $\left.a;c\right]$ thì ta có:

$\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left.f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx=\left.\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left.f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx\right|$

- Khi tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ta có:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|d\text{x}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.h\left(x\right)\right|d\text{x}$

ta xét dấu bằng cách làm hoàn toàn tương tự như trên phần 1.

- Nếu đề bài không cho các đường thẳng giới hạn x = a; x = b ta giải phương trình f(x) = g(x) (hoặc f(x) = 0 trong trường hợp g(x) là trục hoành) để tìm cận của tích phân.

3. Ứng dụng tính diện tích hình tròn và hình Elip

a) Tính diện tích hình tròn

Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn có phương trình: $x^2+y^2=r^2\left(r>0\right)$. Khi đó hình tròn đó có diện tích là: $S=\pi r^2$

Ta có:

$x^2+y^2=r^2\iff y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$

Với $y\ge 0$, ta có: $y=\sqrt{r^2-x^2}$ có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.

Bằng cách đặt $x=r\sin t$ ta có diện tích $S_1=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}dx=2\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{\pi r^2}{2}$

Do đó $S=2{\text{S}}_1=\pi r^2$.

b) Tính diện tích hình Elip

Trong hệ tọa độ Oxy cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,0<b<a$.

Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là: $S=\pi ab$ (đvdt).

B. VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1.

Lời giải

Nhận thấy trên $\left.a;c\right]$ và $\left.d;b\right]$ thì $f_1\left(x\right)\ge f_2\left(x\right)$; trên $\left.c;d\right]$ thì $f_1\left(x\right)\le f_2\left(x\right)$

Do vậy:

(Trên đây là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối)

Ví dụ 2.

Lời giải

Diện tích S của hình phẳng trên là $S=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left.-x^2+2\text{x}-2\right|d\text{x}$.

Ta có:

$-x^2+2\text{x}-2\le 0,\forall x\in \left.0;3\right]$

$S=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left.-x^2+2\text{x}-2\right|d\text{x}=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-2\text{x}+2\right)d\text{x}={\left.\left(\frac{x^3}{3}-x^2+2\text{x}\right)\right|}_0^3=6\left(đvdt\right).$

Ví dụ 3.

A. $-\frac{4}{3}$

B. $\frac{4}{3}$

C. 1

D. $\frac{2}{3}$

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là:

$x^2-x+1=x+1\iff x^2-2\text{x}=0\iff \begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

Diện tích cần tìm là:

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left.x^2-x+1-x-1\right|d\text{x}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left.x^2-2\text{x}\right|d\text{x}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(2\text{x}-x^2\right)d\text{x}={\left.\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^2=\frac{4}{3}$

Chọn B.

Ví dụ 4.

A. $S=5-\ln 4$

B. $S=4-\ln 5$

C. $S=4+\ln 5$

D. $S=5+\ln 4$

Lời giải

Ta có:

$x-y+1=0\iff y=x+1$

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

$e^x+x=x+1\iff e^x=1\iff x=0$

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S=\underset{0}{\overset{\ln 5}{\int }}\left.e^x-1\right|d\text{x}=\underset{0}{\overset{\ln 5}{\int }}\left(e^x-1\right)d\text{x}={\left.\left(e^x-x\right)\right|}_0^{\ln 5}=4-\ln 5$

Chọn B.

Ví dụ 5.

A. 10

B. 8

C. 9

D. 12

Lời giải

Chọn C.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1.

A. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

B. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f\left(x\right)\right|\text{d}x.$

C. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x.$

D. $S=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f\left(x\right)\right|\text{d}x.$

Câu 2.

A. $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

B. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

C. $S=\underset{0}{\overset{-2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

D. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{3}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

Câu 3.

A. $S=2$

B. $S=3$

C. $S=\frac{1}{2}$

D. $S=\frac{1}{6}$.

Câu 4.

A. $a-b=2.$

B. $a-b=3$

C. $a-b=-2.$

D. $a-b=-3$

Câu 5.

A. $S=\frac{1}{2}.$

B. $S=1.$

C. $S=\frac{3}{2}.$

D. $S=2.$

Câu 6.

A. $S=\frac{1}{3}.$

B. $S=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}.$

C. $S=\frac{2\sqrt{2}+1}{3}.$

D. $S=2\left(\sqrt{2}-1\right).$

Câu 7.

A. Diện tích hình vuông có cạnh bằng 2.

B. Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt 5 và 3.

C. Diện tích hình tròn có bán kính bằng 3.

D. Diện tích toàn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng $\frac{2\sqrt[4]{3}}{3}$.

Câu 8.

A. $S=-\frac{8}{5}.$

B. $S=\frac{8}{5}.$

C. $S=\frac{2}{25}.$

D. $S=\frac{4}{25}.$

Câu 9.

A. $S=\frac{e^2+1}{4}$

B. $S=\frac{e^2+1}{6}$

C. $S=\frac{e^2+1}{8}$

D. $S=\frac{e^2+1}{2}$

Câu 10.

A. $S=e+\frac{1}{2}.$

B. $S=e-\frac{1}{2}.$

C. $S=e+1.$

D. $S=e-1.$

Câu 11.

A. $S=\frac{e+2}{2}$

B. $S=\frac{e}{2}$

C. $S=\frac{e-2}{2}$

D. $S=\frac{e-2}{4}$

Câu 12.

A. $\frac{\pi +2\sqrt{2}}{4}.$

B. $\frac{3\pi +2\sqrt{2}}{4}.$

C. $\frac{\pi -2\sqrt{2}}{4}.$

D. $\frac{3\pi -2\sqrt{2}}{4}.$

Câu 13.

A. $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(4-\frac{1}{x^2}\right)\text{d}x$

B. $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left.4-\frac{1}{x^2}\right|\text{d}x.$

C. $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{4-y}}.$

D. $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{-1}{\sqrt{4-y}}\text{d}y.$

Câu 14.

A. S = 15

B. S = 32.

C. S = 25

D. S = 30

Câu 15.

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{7\pi }{6}-1$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{7\pi }{6}+1$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{7\pi }{3}+1$

D. $\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{7\pi }{6}-1$

Câu 16.

A. $\frac{1}{12}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{1}{8}$

D. $\frac{1}{15}$

Câu 17.

A. $\frac{34}{15}$

B. $\frac{14}{15}$

C. $\frac{64}{15}$

D. $\frac{32}{15}$

Câu 18.

A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{9}{11}$

C. $\frac{8}{3}$

D. $\frac{5}{2}$

Câu 19.

A. $\frac{7}{3}$

B. $\frac{5}{4}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Câu 20.

A. $\frac{7}{3}$

B. $\frac{16}{3}$

C. $\frac{21}{11}$

D. $\frac{8}{9}$

Câu 21.

A. $2e+\frac{3}{e}-2$

B. $e+\frac{2}{e}-1$

C. $e+\frac{1}{e}-2$

D. $2e+\frac{1}{e}$

Câu 22.

A. 8

B. 5

C. 13

D. 11

Câu 23.

A. $\frac{11}{12}$

B. $\frac{7}{2}$

C. $\frac{34}{13}$

D. $\frac{17}{6}$

Câu 24.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{5}{4}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{2}$

Câu 25.

A. $\pi -2\sin 1$

B. $\pi -2$

C. $\pi$

D. $\pi -\sin 1$

Câu 26.

A. $\frac{e^{\frac{\pi }{4}}-1}{3}$

B. $\frac{e^{\frac{\pi }{4}}-1}{7}$

C. $\frac{e^{\frac{\pi }{4}}-1}{2}$

D. $\frac{e^{\frac{\pi }{4}}-1}{5}$

Câu 27.

A. $\frac{2\pi +5\sqrt{3}}{3}.$

B. $\frac{4\pi +5\sqrt{3}}{3}.$

C. $\frac{4\pi +\sqrt{3}}{3}.$

D. $\frac{2\pi +\sqrt{3}}{3}.$

Câu 28.

A. $\frac{1}{5}.$

B. $\frac{1}{3}.$

C. $\frac{1}{2}.$

D. $\frac{1}{4}.$

Đáp án