50 bài toán về nguyên hàm và cách giải (có đáp án 2024) – Toán 12

Nguyên hàm và cách giải bài tập cơ bản - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT.

1. Khái niệm nguyên hàm.

- Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$ với mọi x thuộc K.

$\boxed{F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)}$, $\forall$x $\in$ K

Định lí:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số $G\left(x\right)=F\left(x\right)+C$ cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng $F\left(x\right)+C$, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C,C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

2. Tính chất của nguyên hàm.

- Nếu F(x) có đạo hàm thì: $\int d\left(F\left(x\right)\right)=F\left(x\right)+C$

- $\int kf\left(x\right)d\text{x}=k\int f\left(x\right)d\text{x}$ với k là hằng số khác 0.

- $\int \left.f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]d\text{x}=\int f\left(x\right)d\text{x}\pm \int g\left(x\right)d\text{x}$

3. Sự tồn tại của nguyên hàm.

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.

B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN HAY GẶP VÀ VÍ DỤ.

Phương pháp giải:

Bài toán 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên $D\subset ℝ$ .

Ví dụ 1.

A. $\int f\left(x\right)dx=x^2+3x+C$

B. $\int f\left(x\right)dx=\frac{x^3}{3}+3x+C$

C. $\int f\left(x\right)dx=x^3+3x+C$

D. $\int f\left(x\right)dx=2x+C$

Lời giải

$\int f\left(x\right)dx=\int \left(x^2+3\right)dx=\int x^{2}dx+3\int dx=\frac{x^3}{3}+3x+C$

Chọn B.

Bài toán 2: Tìm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên $D\subset ℝ$ .

Ví dụ 2.

A. $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-9}$

B. $f\left(x\right)=\frac{1}{x-9}$

C. $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-9}+\frac{x}{12}$

D. $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2+9}+\frac{x}{12}$

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

Bài toán 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện cho trước.

Ví dụ 3.

A. $f\left(x\right)=3x+5\cos x+5$

B. $f\left(x\right)=3x+5\cos x+2$

C. $f\left(x\right)=3x-5\cos x+2$

D. $f\left(x\right)=3x-5\cos x+15$

Lời giải

Chọn A.

Bài toán 4: Tìm giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của f(x).

Ví dụ 4. Cho kết quả của $\int \left(x^2+2x^3\right)dx$ có dạng $\frac{a}{3}{x}^3+\frac{b}{4}{x}^4+C$, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 2 .

B. 1 .

C. 9 .

D. 32 .

Lời giải

Theo đề, ta cần tìm $\int \left(x^2+2x^3\right)dx$. Sau đó, ta xác định giá trị của a.

Ta có:

$\int \left(x^2+2x^3\right)dx=\int x^{2}dx+2\int x^{3}dx=\frac{1}{3}{x}^3+2.\frac{1}{4}{x}^4+C$

Suy ra để $\int \left(x^2+x^3\right)dx$ có dạng $\frac{a}{3}{x}^3+\frac{b}{4}{x}^4+C$ thì a = 1, b = 2.

Chọn B.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1.

A. $x^4+x^2+C.$

B. $3x^2+1+C.$

C. $x^3+x+C.$

D. $\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+C.$

Câu 2.

A. $\frac{1}{4}{x}^4-x^3+\frac{4}{3}\sqrt{x^3}+C$

B. $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{4}{3}\sqrt{x^3}+C$

C. $\frac{1}{4}{x}^4-x^3+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C$

D. $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C$

Câu 3.

A. $2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x^2}+3x+C$

B. $2\sqrt{x}+\frac{4}{3}\sqrt[3]{x^2}+3x+C$

C. $\frac{1}{2}\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x^2}+3x+C$

D. $\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{4}{3}\sqrt[3]{x^2}+3x+C$

Câu 4.

A. $f\left(x\right)$ xác định trên K.

B. $f\left(x\right)$ có giá trị lớn nhất trên K

C. $f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất trên K

D. $f\left(x\right)$ liên tục trên K

Câu 5.

A. Nếu $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $\left(a;b\right)$ và C là hằng số thì $\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C$.

B. Mọi hàm số liên tục trên $\left(a;b\right)$ đều có nguyên hàm trên $\left(a;b\right)$.

C. $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của trên $\left(a;b\right)$ $\iff F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right),\forall x\in \left(a;b\right)$

D. ${\left(\int f\left(x\right)\text{d}x\right)}^{\text{'}}=f\left(x\right)$

Câu 6.

A. $F\left(x\right)=x^4+2x^2+6x+1$

B. $F\left(x\right)=x^4+6x+1$ .

C. $F\left(x\right)=x^4+2x^2+1$ .

D. Đáp án A và B.

Câu 7.

A. $2e^x+C$ .

B. $e^x$ .

C. $e^{2x}+C$ .

D. $e^x+C$ .

Câu 8.

A. $1;3$ .

B. $3;1$

C. $-\frac{1}{8};1$

D. 2; 4.

Câu 9.

A. $3x+\frac{4}{3}{e}^{3x}+\frac{1}{6}{e}^{6x}+C$

B. $4x+\frac{4}{3}{e}^{3x}+\frac{5}{6}{e}^{6x}+C$

C. $4x+\frac{4}{3}{e}^{3x}-\frac{1}{6}{e}^{6x}+C$

D. $4x+\frac{4}{3}{e}^{3x}+\frac{1}{6}{e}^{6x}+C$

Câu 10.

A. $\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}-\ln \left.x\right|+C$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\ln x+C$

C. $\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+\ln \left.x\right|+C$

D. $\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+\ln x+C$

Câu 11.

A. $\sqrt{\frac{3}{2}{x}^2-x+C}$

B. $\frac{2}{9}\sqrt{{\left(3x-1\right)}^3}+C$

C. $\sqrt{\frac{3}{2}{x}^2-x}+C$

D. $\frac{1}{9}\sqrt{{\left(3x-1\right)}^3}+C$

Câu 12.

A. $f\left(x\right)=e^{-x}+e^x+1$

B. $f\left(x\right)=e^x-e^{-x}+\frac{1}{2}{x}^2$

C. $f\left(x\right)=e^x-e^{-x}+1$

D. $f\left(x\right)=e^x+e^{-x}+\frac{1}{2}{x}^2$

Câu 13.

A. $\frac{{84}^x}{\ln 84}+C$

B. $\frac{2^{2x}{.3}^x{.7}^x}{\ln 4.\ln 3.\ln 7}+C$

C. ${84}^x+C$

D. ${84}^x\ln 84+C$

Câu 14.

A. $x^3-3x^2+\ln x+C$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C$

C. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{x^2}+C$

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C$

Câu 15.

A. $\frac{2^{x+1}}{\ln 2}+C$

B. $2^{x+1}+C$

C. $\frac{{3.2}^{x+1}}{\ln 2}+C$

D. $2^{x+1}.\ln 2+C$

Câu 16.

A. $F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}$

B. $F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}+\frac{3}{2}$

C. $F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{2}$

D. $F\left(\text{x}\right)=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}-\frac{3}{2}$

Câu 17.

A. $F\left(x\right)=x^4–x^3-2x-3$

B. $F\left(x\right)=x^4–x^3\text{+2}x+3$

C. $F\left(x\right)=x^4–x^3-2x+3$

D. $F\left(x\right)=x^4+x^3+2x+3$

Câu 18.

A. $4\sqrt{x}+3\ln \left.x\right|+C$

B. $2\sqrt{x}+3\ln \left.x\right|+C$

C. ${\left(4\sqrt{x}\right)}^{-1}+3\ln \left.x\right|+C$

D. $16\sqrt{x}-3\ln \left.x\right|+C$

Câu 19.

A. $\frac{1}{6}\ln \left.3x-2\right|+C$

B. $\frac{-1}{3}\ln \left.3x-2\right|+C$

C. $\frac{-1}{6}\ln \left.3x-2\right|+C$

D. $\frac{4}{3}\ln \left.3x-2\right|+C$

Câu 20.

A. $e^x+e^{-x}+C$

B. $e^x-e^{-x}+C$

C. $-e^x+e^{-x}+C$

D. $e^x+e^x+C$

Câu 21.

A. $\frac{3^{2x}}{2.\ln 3}+\frac{2^{-3x}}{3.\ln 2}+C$

B. $\frac{3^{2x}}{2.\ln 3}-\frac{2^{-3x}}{3.\ln 2}+C$

C. $\frac{3^{-2x}}{2.\ln 3}+\frac{2^{3x}}{3.\ln 2}+C$

D. $\frac{3^{-2x}}{2.\ln 3}-\frac{2^{3x}}{3.\ln 2}+C$

Câu 22.

nào trong các hàm số sau?

A. $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{x}+2x+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{x}+2x+C$

C. $F\left(x\right)=\frac{\frac{x^3}{3}+x}{\frac{x^2}{2}}+C$

D. $F\left(x\right)={\left(\frac{\frac{x^3}{3}+x}{\frac{x^2}{2}}\right)}^3+C$

Câu 23.

A. $2x^3-4x^4$

B. $\frac{2}{3}{x}^3+\frac{x^4}{4}-4x$

C. $x^3-x^4+2x$

D. Đáp án khác.

Câu 24.

A. $e+\ln 2$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\ln \frac{3}{2}$

D. $\ln 2e$

Câu 25.

A. $f\left(x\right)$ xác định trên K

B. $f\left(x\right)$ có giá trị lớn nhất trên K

C. $f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất trên K

D. $f\left(x\right)$ liên tục trên K

Câu 26.

(I): $F\left(x\right)+G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right),g\left(x\right)$

(II): $k.F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $kf\left(x\right)$ $\left(k\in R\right)$

(III): $F\left(x\right).G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right).g\left(x\right)$

Mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?

A. I

B. I và II

C. I, II, III

D. II

Câu 27.

A. $\int 0dx=C$ ( là hằng số)

B. $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left.x\right|+C$ ( là hằng số)

C. $\int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C$ ( là hằng số)

D. $\int dx=x+C$ ( là hằng số)

Câu 28.

A. ${\left(\frac{3^x}{\ln 3}-\frac{\ln 3}{3^x}\right)}^2+C$

B. $\frac{1}{3}{\left(\frac{3^x}{\ln 3}-\frac{1}{3^x\ln 3}\right)}^3+C$

C. $\frac{9^x}{2\ln 3}-\frac{1}{{2.9}^x\ln 3}-2x+C$

D. $\frac{1}{2\ln 3}\left(9^x+\frac{1}{9^x}\right)-2x+C$

Câu 29.

A. $F\left(x\right)=x^2$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)=2x$.

B. $F\left(x\right)=x$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)=2\sqrt{x}$.

C. Nếu $F\left(x\right)$ và $G\left(x\right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ thì $F\left(x\right)-G\left(x\right)=C$ (hằng số).

D. $\int \left.f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)\right]\text{\hspace{0.17em}d}x=\int f_1\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x+\int f_2\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$

Đáp án