Công thức tính diện tích thiết diện hình nón chi tiết nhất – Toán 12

Công thức tính diện tích thiết diện hình nón chi tiết nhất- Toán lớp 12

1. Lí thuyết

a. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh của hình nón

Thiết diện là một tam giác cân.

Thiết diện là tam giác SAB cân tại S

Gọi H là trung điểm AB. Khi đó:

+ Góc giữa thiết diện với đáy là $\widehat{SHI}$. Giả sử $\widehat{SHI}=\alpha \Rightarrow SH=\frac{h}{\sin \alpha }$

$IH=\frac{h}{\tan \alpha }\Rightarrow AH=\sqrt{I{A}^2-I{H}^2}=\sqrt{r^2-\frac{h^2}{{\tan }^2\alpha }}$

+ Diện tích thiết diện:

$S_{△SAB}=SH.AH=\frac{h}{\sin \alpha }.\sqrt{r^2-\frac{h^2}{{\tan }^2\alpha }}$

b. Thiết diện đi qua trục

Diện tíchthiết diện:

$S_{\Delta SAB}=\frac{1}{2}SI.AB=h.r$

c. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Mặt phẳng (P) vuông góc và cách đỉnh một khoảng là h’ tạo ra thiết diện là một hình tròn.

Ta có: 2 tam giác SI’A’ và SIA đồng dạng nên:

$\frac{SI\text{'}}{SI}=\frac{I\text{'}A\text{'}}{IA}\iff \frac{h\text{'}}{h}=\frac{r\text{'}}{r}\Rightarrow r\text{'}=\frac{r}{h}.h\text{'}$

Diện tíchthiết diện $S=\pi .r{\text{'}}^2$

2. Các ví dụ

VD1.

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Theo bài ta có SAB vuông cân tại S có $SA=SB=a$

Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2}SA.SB=\frac{1}{2}{a}^2$

VD2.

Lời giải:

Thiết diện tạo thành là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB. Ta chứng minh được $\widehat{SHI}={60}^{\circ }$

$\Rightarrow IH=\frac{a\sqrt{3}}{\tan {60}^{\circ }}=a$

$SH=2a$

Tam giác IAH vuông tại H nên $AH=\sqrt{I{A}^2-I{H}^2}=a$

Suy ra $S_{\Delta SAB}=SH.AH=2a^2$

VD3.

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB.

Trong mp (SHI) kẻ $IK\perp SH$

$\Rightarrow d\left(I\left(SAB\right)\right)=IK=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta có:

$\frac{1}{I\text{}{K}^2}=\frac{1}{S{I}^2}+\frac{1}{I{H}^2}\iff \frac{2}{a^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{I{H}^2\text{}}\Rightarrow IH=a\Rightarrow SH=\sqrt{S{I}^2+I{H}^2}=a\sqrt{2}$

Vậy diện tích thiết diện là $S=\frac{1}{2}SH.AB=a^2\sqrt{6}$

VD4.

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB

Ta có góc giữa (SAB) và trục là $\widehat{ISH}={30}^{\circ }$

Chiều cao hình nón là :

$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$

$\Rightarrow IH=IH.\tan {30}^{\circ }=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

$SH=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

Ta có :

$AH=\sqrt{I{A}^2-I{H}^2}=\frac{\sqrt{33}}{3}\Rightarrow S_{\Delta SAB}=SH.AH=\frac{8\sqrt{11}}{3}$

VD5.

Lời giải:

Gọi tâm thiết diện là I’ bán kính thiết diện là I’A’

Tâm đường tròn đáy của nón là I; bán kính là IA

Theo bài ta có $II\text{'}=2\Rightarrow SI\text{'}=3$

Tam giác SI’A’ và SIA đồng dạng nên: 

$\frac{I\text{'}A\text{'}}{IA}=\frac{SI\text{'}}{SI}=\frac{3}{5}\Rightarrow r\text{'}=\frac{12}{5}$

Vậy diện tích thiết diện là:

$S=\pi .{\left(\frac{9}{5}\right)}^2=\frac{81}{25}\pi$