50 bài toán về tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác (có đáp án 2024) – Toán 12

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải - Toán lớp 12

A. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ

Phương pháp giải chung: Phân tích hàm phân thức hữu tỉ để đưa về các tích phân cơ bản.

1. Một số công thức cần thiết.

2. Các dạng toán thường gặp, công thức giải nhanh và ví dụ minh hoạ.

2.1. Dạng 1: Tích phân dạng $I_1=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{dx}{a{x}^2+bx+c}$.

Phương pháp giải:

Biến đổi :

$I_1=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{dx}{a{x}^2+bx+c}=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{dx}{{\left(mx+n\right)}^2-p^2}={\left.\left.\frac{1}{2mp}\ln \left.\frac{mx+n-p}{mx+n+p}\right|\right]\right|}_{\alpha }^{\beta }$

Ví dụ 1.

A. $S=20+37\sqrt{3}$

B. $S=37+24\sqrt{3}$

C. $S=57$

D. $S=61$

Lời giải

Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có:

2.2. Dạng 2: Tính tích phân $I_2=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{mx+n}{a{x}^2+bx+c}dx$.

Phương pháp giải

Cách 1:

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (Sử dụng khi mẫu có nghiệm)

* Nếu mẫu số có nghiệm kép $x=x_0$ tức là $a{x}^2+bx+c=a{\left(x-x_0\right)}^2$ ta giả sử:

$\frac{mx+n}{a{x}^2+bx+c}=\frac{A}{x-x_0}+\frac{B}{{\left(x-x_0\right)}^2}$

Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số hai vế để tìm A; B.

Sau khi tìm được A; B thì ta có $I_2={\left.A.\ln \left.x-x_0\right|-\frac{B}{x-x_0}\right]}_{\alpha }^{\beta }$.

* Nếu mẫu số có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$: $a{x}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ thì ta giả sử:

$\frac{mx+n}{a{x}^2+bx+c}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}$

Quy đồng và đồng nhất hệ số để tìm A; B.

Sau khi tìm được A; B ta có $I_2={\left.\left.A\ln \left.x-x_1\right|+B\ln \left.x-x_2\right|\right]\right|}_{\alpha }^{\beta }$.

Ví dụ 2.

A. ‒35

B. ‒2

C. 2

D. 3

Chọn D.

Lời giải

Cách 1: Ta có:

Cách 2: Ta thấy .

Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay.

Trong bài toán này ta có thể sử dụng chức năng TABLE để giải quyết, tuy nhiên cách làm này chỉ mang tính chất “mò” (tức dự đoán khoảng của a; b).

Ta thấy:

$I=a.\ln 3+b.\ln 2\Rightarrow a=\frac{I-b.\ln 2}{\ln 3}$

1. Lúc này ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính và gán giá trị này cho biến A.

2. Tiếp tục sử dụng MODE 7 TABLE để chạy biến giá trị của b từ đó tìm ra bảng giá trị tương ứng của a.

Ta thấy chỉ có trường hợp $X=5;F\left(X\right)=-7$ là thỏa mãn 2 số nguyên, do đó ta kết luận $a=-7;b=5\Rightarrow a+2b=3$.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1.

A. $\frac{2\ln 2}{3}$

B. $-\frac{2\ln 2}{3}$

C. $-2\ln 2$

D. $2\ln 2$

Câu 2.

A. $\ln \left.\frac{a-2}{2a-1}\right|$

B. $\ln \left.\frac{a-2}{a-1}\right|$

C. $\ln \left.\frac{a-2}{2\left(a-1\right)}\right|$

D. $\ln \left.\frac{a-2}{2a+1}\right|$.

Câu

A. $-\frac{\ln 2}{2}$

B. $\ln 2-1$

C. $\frac{3}{2}-\ln 4$

D. $-\frac{\ln 3}{3}$

Câu 4.

A. $a=\frac{1}{5}$

B. $a=\frac{2}{5}$

C. $a=\frac{3}{5}$

D. $a=\frac{4}{5}$

Câu 5.

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{3}$

Câu 6.

A. $I=\ln \frac{3}{2}$

B. $I=\frac{1}{3}\ln \frac{3}{2}$

C. $I=-\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}$

D. $I=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}$

Câu 7.

A. I = 1

B. $I=\ln \frac{3}{4}$

C. I = ln2

D. I = -ln2

Câu 8.

A. $I=\frac{1}{6}+\ln 12$

B. $I=\frac{1}{6}+\ln \frac{3}{4}$

C. $I=\frac{1}{6}-\ln 3+2\ln 2$

D. $I=\frac{1}{6}-\ln 3-2\ln 2$

Câu 9.

A. K = 1

B. K = 2

C. K = -2

D. Đáp án khác.

Câu 10. Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^3+3x}{x^2+3x+2}dx=a+b\ln 2+c\ln 3$ với a, b, c là các số hữu tỉ, tính $S=2a+b^2+c^2.$

A. $S=515$

B. $S=164$

C. $S=436$

D. $S=-9$.

Câu 11.

Tính T = a + b + c.

A. T = 4.

B. T = 2.

C. T = 1.

D. T = 3.

Câu 12.

A. $5\ln 2-3\ln 2$

B. $5\ln 2+2\ln 3$

C. $5\ln 2-2\ln 3$

D. $2\ln 5-2\ln 3$

Đáp án

B. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Một số công thức và kĩ năng biến đổi.

2. Các dạng toán hay gặp và cách giải.

2.1. Dạng 1: Tính tích phân: $I_1=\underset{a_1}{\overset{b_1}{\int }}{\left(\sin x\right)}^{n}dx;I_2=\underset{a_2}{\overset{b_2}{\int }}{\left(\cos x\right)}^{n}dx$

1. Nếu n chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc.

2. Nếu n = 3 thì ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo trường hợp 3.

3. Nếu $n\ge 3$ và n lẻ $\left(n=2p+1\right)$ thì ta thực hiện biến đổi.

$I_1=\underset{a_1}{\overset{b_1}{\int }}{\left(\sin x\right)}^{n}dx=\underset{a_1}{\overset{b_1}{\int }}{\left(\sin x\right)}^{2p+1}dx=\underset{a_1}{\overset{b_1}{\int }}{\left(\sin x\right)}^{2p}.\sin xdx=-\underset{a_1}{\overset{b_1}{\int }}{\left(1-{\cos }^{2}x\right)}^{p}d\left(\cos x\right)$

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển ${\left(1-{\cos }^{2}x\right)}^p$

Từ đây ta giải quyết được bài toán.

$I_2=\underset{a_2}{\overset{b_2}{\int }}{\left(\cos x\right)}^{n}dx=\underset{a_2}{\overset{b_2}{\int }}{\left(\cos x\right)}^{2p+1}dx=\underset{a_2}{\overset{b_2}{\int }}{\left(\cos x\right)}^{2p}.\cos x.dx=\underset{a_2}{\overset{b_2}{\int }}{\left(1-{\sin }^{2}x\right)}^{p}d\left(\sin x\right)$

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển ${\left(1-{\sin }^{2}x\right)}^p$.

Từ đây ta giải quyết dc bài toán.

2.2. Dạng 2: Tính tích phân $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\sin }^{m}x.{\cos }^{n}xdx$.

Trường hợp 1: m; n là các số nguyên

- Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

- Nếu m chẵn, n lẻ $\left(n=2p+1\right)$ thì biến đổi

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.

- Nếu m lẻ $\left(m=2p+1\right)$, n chẵn thì ta biến đổi

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.

- Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 2 hoặc 3 cho số mũ lẻ bé hơn.

Trường hợp 2: m; n là các số hữu tỉ:

2.3. Dạng 3: Tính tích phân $I_1=\underset{a_1}{\overset{b_1}{\int }}{\left(\tan x\right)}^{n}dx;I_2=\underset{a_2}{\overset{b_2}{\int }}{\left(\cot x\right)}^{n}dx\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

Sử dụng các công thức sau:

3. Đổi biến số với hàm lượng giác.

Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng $\sqrt{x^2+a^2},\sqrt{x^2-a^2},\sqrt{a^2-x^2}$, thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:

4. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1.

A. $I={\left.\left.\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}\sin 6x+\frac{1}{96}\sin 12x\right]\right|}_0^{\frac{\pi }{10}}$

B. $I={\left.\left.\frac{1}{12}\sin 6x+\frac{1}{96}\sin 12x\right]\right|}_0^{\frac{\pi }{10}}$

C. $I={\left.\left.-\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}\sin 6x+\frac{1}{96}\sin 12x\right]\right|}_0^{\frac{\pi }{10}}$

D. $I={\left.\left.\frac{3}{8}x-\frac{1}{96}\sin 12x\right]\right|}_0^{\frac{\pi }{10}}$

Lời giải

Ta có

Từ đây ta giải quyết được bài toán.

Chọn A.

Ví dụ 2.

A. $S=3$

B. $S=-\frac{74}{105}$

C. $S=-\frac{5}{4}$

D. $S=\frac{1}{9}$

Lời giải

Ta có :

Chọn B.

Ví dụ 3.

Lời giải

Chọn C.

5. Bài tập tự luyện.

Câu 1.

A. $f\left(x\right)=\cos 3x$

B. $f\left(x\right)=\sin 3x$

C. $f\left(x\right)=\cos \left(\frac{x}{4}+\frac{\pi }{2}\right)$

D. $f\left(x\right)=\sin \left(\frac{x}{4}+\frac{\pi }{2}\right)$.

Câu 2.

A. -6.

B. 6.

C. -3.

D. 3.

Câu 3.

A. $\frac{1}{2}\ln \frac{1}{3}$

B. $2\ln 3$

C. $\frac{1}{2}\ln 3$

D. $2\ln \frac{1}{3}$.

Câu 4.

A. $I=-\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\frac{2t}{1+t}dt$

B. $I=\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\frac{2t}{1+t}dt$

C. $I=-\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}\frac{2t}{1+t}dt$

D. $I=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}\frac{2t}{1+t}dt$.

Câu 5.

A. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $-\frac{\sqrt{2}}{3}$

C. $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

D. $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Câu 6.

A. $\frac{\pi }{6}$

B. $\frac{\pi }{8}$

C. $\frac{\pi }{4}$

D. $\frac{\pi }{2}$

Câu 7.

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{6}{5}$.

Câu 8.

A. $\frac{2}{3}\ln 2$.

B. $\frac{2}{3}\ln 4$

C. $\frac{1}{3}\ln 4$

D. $\frac{1}{3}\ln 2$.

Câu 9.

A . $\ln 3-\frac{3}{5}$

B. $\ln 2-2$

C. $\ln 2-\frac{3}{4}$

D. $\ln 2-\frac{3}{8}$.

Câu 10.

A. $\frac{2}{3}\underset{1}{\overset{3}{\int }}{u}^{2}du$

B. $\frac{2}{3}\underset{0}{\overset{2}{\int }}{u}^{2}du$

C. ${\left.\frac{2}{9}{u}^3\right|}_1^2$

D. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{u}^{2}du$

Câu 11. Giá trị của tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ là?

A. $\frac{\pi }{6}$

B. $\frac{\pi }{4}$.

C. $\frac{\pi }{3}$

D. $\frac{\pi }{2}$.

Câu 12.

A. $I=\frac{\pi }{2}$

B. $I=\frac{3\pi }{4}$

C. $I=\frac{\pi }{4}$

D. $I=\frac{5\pi }{4}$

Câu 13.

A. $I=\frac{32}{128}\pi$

B. $I=\frac{33}{128}\pi$

C. $I=\frac{31}{128}\pi$

D. $I=\frac{30}{128}\pi$

Câu 14.

A. $I=\frac{\pi }{4}$

B. $I=\frac{\pi }{2}$

C. $I=\frac{\pi }{3}$

D. $I=\pi$

Câu 15.

A. $\frac{250}{693}$

B. $\frac{254}{693}$

C. $\frac{252}{693}$

D. $\frac{256}{693}$

Câu 16.

A. $\frac{67\pi }{512}$

B. $\frac{61\pi }{512}$

C. $\frac{63\pi }{512}$

D. $\frac{65\pi }{512}$

Câu 17.

A. $\frac{1}{2n}$

B. $\frac{1}{n-1}$

C. $\frac{1}{n+1}$

D. $\frac{1}{n}$

Câu 18.

A. $-\sqrt{3}\ln 2+\sqrt{3}+\frac{\pi }{3}$

B. $\sqrt{3}\ln 2+\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$

C. $-\sqrt{3}\ln 2-\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$

D. $-\sqrt{3}\ln 2+\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$

Câu 19.

A. $\frac{\pi }{4\sqrt{2}}$

B. $\frac{\pi }{2\sqrt{2}}$

C. $\frac{4\pi }{\sqrt{2}}$

D. $\frac{-\pi }{\sqrt{2}}$

Câu 20.

A. 2018.

B. -1009.

C. -2018.

D. 1009.

Đáp án