50 bài toán về các bài toán thực tế ứng dụng tích phân (có đáp án 2024) – Toán 12

Các bài toán thực tế ứng dụng tích phân và cách giải - Toán lớp 12

A. BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC, QUÃNG ĐƯỜNG.

1. Phương pháp giải

Với bài toán chuyển động, giả sử vận tốc tức thời của vật là v(t) thì với s(t) là quãng đường.

Gia tốc tức thời của vật: $a\left(t\right)=v^{\text{'}}\left(t\right)={s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)$

Do đó quãng đường vật đi được từ thời điểm $t_1$ đến $t_2$ là $S=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}v\left(t\right)dt.$

Vận tốc tức thời của vật: $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt$

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1.

A. 0,2 m

B. 2 m

C. 10 m

D. 20 m

Lời giải

Nguyên hàm của hàm vận tốc chính là quãng đường s(t) mà ô tô đi được sau quãng đường t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh xe.

Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với t = 0.

Khoảng thời gian t kể từ lúc ô tô đạp phanh đến khi dừng lại là

-5t + 10 = 0 → t = 2 (s).

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại quãng đường ô tô đi được là

$s=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\text{(-5t\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}10)dt}={\left.\left(\frac{-5}{2}{t}^2+10t\right)\right|}_0^2=\left(\frac{-5}{2}{.2}^2+10.2\right)-\left(\frac{-5}{2}{.0}^2+10.0\right)=10\left(m\right)$

Chọn C.

Ví dụ 2.

A. 12000m

B. 240 m

C. 864000 m

D. 3200 m

Phân tích

Biểu thức gia tốc là đạo hàm của biểu thức vận tốc, đến đây, kết hợp với ví dụ đầu ta kết luận: “Biểu thức gia tốc là đạo hàm cấp một của biểu thức vận tốc, và là đạo hàm cấp hai của biểu thức quãng đường”. Từ đây ta có lời giải:

Lời giải

Đổi 40 phút = 2400s

Ta có $v\left(t\right)=\underset{}{\overset{}{\int }}0,3\text{dt}=0,3t$ (do ban đầu vận tốc của vật bằng 0).

Vậy quãng đường vật đi được trong 40 phút đầu tiên là:

$S=\underset{0}{\overset{2400}{\int }}\text{0,3tdt}={\left.\frac{0,3}{2}{t}^2\right|}_0^{2400}=\frac{0,3}{2}{.2400}^2-\frac{0,3}{2}{.0}^2=864000\left(m\right)$

Chọn C.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1.

A. 1410 m

B. 1140 m

C. 300 m

D. 240 m

Câu 2.

A. 5 s

B. 8 s

C. 15 s

D. 10 s

Câu 3.

A. $\frac{125}{12}$ (m)

B. $\frac{125}{9}$ (m)

C. $\frac{125}{3}$ (m)

D. $\frac{125}{6}$ (m)

Câu 4.

A. 5 km/h

B. 12 km/h

C. 7 km/h

D. 18 km/h

Câu 5.

A. 20m

B. 10 m

C. 22,5m

D. 5m

Câu 6.

t = 2s là:

A. 63 m/s²

B. 64 m/s²

C. 23 m/s²

D. 24 m/s²

Câu 7.

A. 3 m/s

B. $\frac{49}{2}$ m/s

C. 12 m/s

D. $\frac{47}{2}$ m/s

Câu 8.

A. 24 m/s

B. 23 m/s

C. 7 m/s

D. 8 m/s

Câu 9.

v = 10t (m/s), t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chạy. Hỏi quãng đường xe phải đi là bao nhiêu từ lúc xe bắt đầu chạy đến khi đạt vận tốc 20 (m/s)?

A. 10m

B. 20m

C. 30m

D. 40m

Câu 10.

A. 4,75m

B. 4,5m

C. 4,25m

D. 5m

Câu 11.

A. (3;4)

B. (4;5)

C. (5;6)

D. (6;7)

Câu 12.

A. $S=87,50\left(\text{m}\right)$

B. $S=94,00\left(\text{m}\right)$

C. $S=95,70\left(\text{m}\right)$

D. $S=96,25\left(\text{m}\right)$

Câu 13.

A. S = 88,2 (m)

B. S = 88,5 (m)

C. S = 88 (m)

D. S = 89 (m)

Câu 14.

A. 68,25 m

B. 70,25 m

C. 69,75 m

D. 67,25 m

Câu 15.

A. s = 23,25 (km)

B. s = 21,58 (km)

C. s = 15,50 (km)

D. s = 13,83 (km)

Đáp án

B. BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ DIỆN TÍCH.

1. Phương pháp giải

+ Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f\left(x\right)\right|dx$ (1)

+ Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Khi đó diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1.

A. 7.862.000 đồng

B. 7.653.000 đồng.

C. 7.128.000 đồng.

D. 7.826.000 đồng.

Lời giải

Nhận thấy đây là bài toán áp dụng ứng dụng của tích phân vào tính diện tích hình phẳng. Ta có hình vẽ bên:

Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp 4 lần diện tích phần gạch chéo, do đó ta chỉ cần đi tìm diện tích phần gạch chéo.

Gọi phương trình elip là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Theo bài ra ta có: 2a = 16; 2b = 10 suy ra a = 8; b = 5.

Ta có phương trình đường elip đã cho là $\frac{x^2}{8^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$.

Xét trên $\left.0;4\right]$ nên $y>0$ nên ta có: $y=\frac{5}{8}\sqrt{8^2-x^2}$

Khi đó $S_{cheo}=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{5}{8}\sqrt{8^2-x^2}dx$

Vậy diện tích trồng hoa của ông An trên mảnh đất là:

$S=4.\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{5}{8}\sqrt{8^2-x^2}dx\approx 76,5289182$

Lưu ý: Để giải S:

Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay.

Cách 2: Dùng cách đổi biến số: đặt x = 8sint với $t\in \text{[}\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\text{] }$ thì dx = 8costdt.

Đổi cận:

$\begin{array}{l}x=4\Rightarrow \sin t=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}\\ x=0\Rightarrow \sin t=0\Rightarrow t=0\end{array}$

Khi đó:

Khi đó số kinh phí phải trả của ông An là:

$76,5289182.100000\approx \mathrm{7.653.000}$ đồng.

Chọn B.

Ví dụ 2.

A. 6.520.000 đồng.

B. 6.320.000 đồng.

C. 6.417.000 đồng.

D. 6.620.000 đồng.

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trong đó A(-2,5; 1,5), B(2,5; 1,5), C(0; 2).

Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng $y=a{x}^2+bx+c$, với a, b, c $\in ℝ$

Do Parabol đi qua các điểm đó A(-2,5; 1,5), B(2,5; 1,5), C(0; 2) nên ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{c}\begin{array}{l}{\text{a.(-2,5)}}^{\text{2}}\text{+b.(-2,5)+c=1,5}\\ {\text{a.(2,5)}}^{\text{2}}\text{+b.(2,5)+c=1,5}\end{array}\\ \text{c=2}\end{array}\iff \begin{array}{c}\begin{array}{l}\text{a=}\frac{\text{-2}}{\text{25}}\\ \text{b=0}\end{array}\\ \text{c=2}\end{array}$

Khi đó phương trình Parabol là:

$y=\frac{-2}{25}{x}^2+2.$

Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số $y=\frac{-2}{25}{x}^2+2$, trục hoành và hai đường thẳng x = -2,5; x = 2,5.

Ta có :

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là:

$S.700000=\frac{55}{6}.700000\approx \mathrm{6.417.000}\left(đồng\right).$

Chọn C.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1.

A. 25.708.000 đồng

B. 51.416.000 đồng

C. 31.415.000 đồng.

D. 17.635.000 đồng

Câu 2.

A. 706.858.000

B. 514.160.000

C. 1.413.717.000

D. 680.340.000

Câu 3.

A. 31.904.000

B. 23.991.000

C. 10.566.000

D. 17.635.000

Câu 4.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{2+3\sqrt{2}}{7}$

Câu 5.

A. 7.862.000 đồng.

B. 7.653.000 đồng.

C. 7.128.000 đồng.

D. 7.826.000 đồng.

Câu 6.

A. 1,034 m²

B. 1,574 m²

C. 1,989 m²

D. 2,824 m²

Câu 7.

A. S = 4,8

B. S = 3,9

C. S = 3,7

D. S = 3,4

Câu 8.

A. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

B. $\frac{4}{5}$

C. $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

D. $\frac{3}{1+2\sqrt{2}}$

Câu 9.

Tính diện tích của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.

A. $S=\frac{125}{6}\left(m^2\right)$

B. $S=\frac{125}{4}\left(m^2\right)$

C. $S=\frac{250}{3}\left(m^2\right)$

D. $S=\frac{125}{3}\left(m^2\right)$

Câu 10. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

A. 33.750.000 đồng.

B. 12.750.000 đồng.

C. 6.750.000 đồng.

D. 3.750.000

Đáp án

C. BÀI TOÁN THỰC TẾ TÍNH THỂ TÍCH.

1. Phương pháp giải

a) Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm a a ≤ x ≤ b. Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Thể tích của B là: $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$

b) Thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số y = f(x) liên tục; không âm trên [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích của nó là: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục tung và hai đường thẳng y = c; y = d quay quanh trục Oy là: $V=\pi \underset{c}{\overset{d}{\int }}{g}^2\left(y\right)dy$

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|\text{d}x$

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ:

Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 2.90 cm³/phút. Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 8π cm (xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ?

A. 8cm.

B. 12cm

C. 10cm.

D. 9cm.

Lời giải

Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng của đồng hồ cát là parabol. Gọi (P) là đường Parabol phía trên. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ .

Đường tròn thiết diện có chu vi bằng 8π = 2πR → R = 4.

Do (P) có đỉnh là O(0; 0) nên phương trình $\left(P\right):y=a{x}^2.$

(P) đi qua A(4; 4) nên ta có: $4=a{.4}^2\Rightarrow a=\frac{1}{4}$

Vậy phương trình $\left(P\right):y=\frac{1}{4}{x}^2.$

Thể tích phần cát ban đầu chính bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phải của (P) quay quanh trục Oy và bằng lượng cát đã chảy trong thời gian 30 phút .

Ta có:

$V=\pi \underset{h}{\overset{}{0}}{\left(2\sqrt{y}\right)}^{2}dy=2\pi h^2$

Lượng cát chảy trong 30 phút là 2,9.30 = 87 (m³).

Vậy:

$V=87\Rightarrow 2\pi h^2=87\Rightarrow h=\sqrt{\frac{87}{2\pi }}$

Chiều cao hình trụ bên ngoài là:

l = 2.$\frac{4}{3}.\sqrt{\frac{87}{2\pi }}\approx 10cm$

Chọn đáp án C.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1.

A. 97

B. 36

C. 5

D. 103

Câu 2.

A. 81 788 cm³

B. 87 388 cm³

C. 83 788 cm³

D. 7 883 cm³

Câu 3.

A. 11,781 ${\text{m}}^{\text{3}}$

B. 12,637${\text{m}}^{\text{3}}$

C. 114,923${\text{m}}^{\text{3}}$

D. 8,307${\text{m}}^{\text{3}}$

Câu 4.

A. $8\pi {\text{ dm}}^{\text{2}}.$

B. $\frac{15}{2}\pi {\text{ dm}}^{\text{3}}.$

C. $\frac{14}{3}\pi {\text{ dm}}^{\text{2}}.$

D. $\frac{15}{2}{\text{ dm}}^{\text{2}}.$

Câu 5. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).

A. $19m^3$

B. $21m^3$

C. $18m^3$

D. $40m^3$

Câu 6.

A. $\frac{135\sqrt{3}}{5}\left(m^3\right)$

B. $\frac{96\sqrt{3}}{5}\left(m^3\right)$

C. $\frac{135\sqrt{3}}{4}\left(m^3\right)$

D. $\frac{135\sqrt{3}}{8}\left(m^3\right)$

Câu 7.

A. $\frac{100}{3}\pi \left(d{m}^3\right)$

B. $\frac{43}{3}\pi \left(d{m}^3\right)$

C. $41\pi \left(d{m}^3\right)$

D. $132\pi \left(d{m}^3\right)$

Câu 8.

A. 183.000 đ

B. 180.000 đ

C. 185.000 đ

D. 190.000 đ

Đáp án