Công thức tính bán kính của hình nón đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

Công thức tính bán kính của hình nónđầy đủ, chi tiết nhất- Toán lớp 12

1. Lí thuyết

- Hình nón tròn xoay

Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.

 

Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón.

O là đỉnh của hình nón.

OI gọi là chiều cao của hình nón. Kí hiệu h

OM là độ dài đường sinh. Kí hiệu l

IM là bán kính đáy. Kí hiệu r.

2. Các công thức tính bán kính đáy của hình nón

a. Cho chiều cao h và độ dài đường sinh l

- Dựa vào định nghĩa: 

$l^2=h^2+r^2\Rightarrow r=\sqrt{l^2-h^2}$

VD1.

Lời giải:

Bán kính đáy của hình nón là: 

$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$

Suy ra chu vi đáy là $C=2\pi r=6\pi$

VD2.

Lời giải:

Độ dài đường cao là 2r

Ta có:

$l^2=h^2+r^2\iff 20=5r^2\iff r=2$

Vậy bán kính đáy bằng 2.

b. Góc giữa đường sinh và đáy bằng $\alpha$

- Góc giữa đường sinh và đáy chính là $\widehat{OMI}$

Khi đó: 

$\begin{array}{l}r=h.\cot \alpha \\ r=l.\cos \alpha \end{array}$

VD1.

Góc giữa đường sinh với đáy bằng ${30}^{\circ }$

Lời giải:

Bán kính 

$r=h.\cot \alpha \Rightarrow r=a.\cot {30}^{\circ }=a\sqrt{3}$

VD2.

Lời giải:

Bán kính:

$r=l.\cos \alpha =4.\cos {60}^{\circ }=2$

c. Mặt phẳng (P) qua đỉnh và tạo với đáy một góc $\alpha$

 

Mp (P) qua O và cắt đáy tại A và B. Gọi H là trung điểm AB

Khi đó $\alpha =\widehat{OHI}$

$\Rightarrow IH=h.\cot \alpha \Rightarrow r=IA=\sqrt{I{H}^2+A{H}^2\text{}}$

VD.

Lời giải:

d. Thiết diện qua trục là một tam giác vuông

$r=h=\frac{l\sqrt{2}}{2}$

VD.

Lời giải:

Ta có: 

$r=h=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2}=2$