50 bài toán về tọa độ điểm, tọa độ vectơ (có đáp án 2024) – Toán 12

Các bài toán về tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Oxz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Chú ý: ${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=1$

và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{j}=0$

2. Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa:

$\overrightarrow{u}=\left(x;y;z\right)\iff \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

b) Tính chất:

Cho $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3),\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3),k\in ℝ$ ta có:

+ Tổng và hiệu của hai vectơ:

$\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1;a_2\pm b_2;a_3\pm b_3)$

+ Tích của vectơ với một số:

$k\overrightarrow{a}=(k{a}_1;k{a}_2;k{a}_3)$ $\left(k\in ℝ\right)$

+ Hai vectơ bằng nhau:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff \begin{array}{l}{a}_1=b_1\\ a_2=b_2\\ a_3=b_3\end{array}$

+ Chú ý:

$\overrightarrow{0}=(0;0;0),\overrightarrow{i}=(1;0;0),\overrightarrow{j}=(0;1;0),\overrightarrow{k}=(0;0;1)$

+ $\overrightarrow{a}$ cùng phương $\overrightarrow{b}(\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0})\text{\hspace{0.17em}⇔\hspace{0.17em}}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}(k\in ℝ)$

3. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa: M(x; y; z) $\iff \overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$ (x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ).

Chú ý:

$M\in \left(Oxy\right)\iff z=0;M\in \left(Oyz\right)\iff x=0;M\in \left(Oxz\right)\iff y=0$

$M\in Ox\iff y=z=0;M\in Oy\iff x=z=0;M\in Oz\iff x=y=0$

b) Tính chất: Cho $A(x_A;y_A;z_A),B(x_B;y_B;z_B)$

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng các định nghĩa, tính chất và các khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ bao gồm: tọa độ của điểm, vectơ; các phép toán vectơ… để tính tổng, hiệu các vectơ, tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, tìm điểm và vectơ thỏa mãn điều kiện cho trước, …

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1:

$G\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$

B. $G\left(-\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$

C. $G\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$

D. $G\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)$

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm trong tam giác ABC ta có:

Tọa độ trọng tâm $G\left(\frac{1+3+1}{3};\frac{2-1+1}{3};\frac{0+1+1}{3}\right)$ hay $G\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, tìm toạ độ của vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$.

A. $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-1\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;1\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(2;1;-1\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(-1;1;2\right)$

Hướng dẫn giải

Ta có

$\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right),\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right),\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$

Nên $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$

$=(1;0;0)+2\left(0;1;0\right)-\left(0;0;1\right)=\left(1;2;-1\right)$

Chọn A.

Ví dụ 3:

A. Q (12; 5; 2).

B. Q (-12; 5; 2).

C. Q (-12; -5; 2).

D. Q (-2; -1; 2).

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}\iff \begin{array}{l}{x}_N-x_M=x_P-x_Q\\ y_N-y_M=y_P-y_Q\\ z_N-z_M=z_P-z_Q\end{array}\iff \begin{array}{l}7-0=-5-x_Q\\ 3-1=-3-y_Q\\ 2-2=2-z_Q\end{array}\iff \begin{array}{l}7=-5-x_Q\\ 2=-3-y_Q\\ 0=2-z_Q\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_Q=-12\\ y_Q=-5\\ z_Q=2\end{array}$

Vậy Q (-12 ; -5 ; 2)

Chọn C.

IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1:

A. $\overrightarrow{u}=\left(5;-3;1\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(-5;3;1\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(2;1;-1\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(-1;1;2\right)$

Câu 2:

A. P = 0.

B. P = 3.

C. P = 5.

D. P = 4.

Câu 3:

A. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;7\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(-1;6;3\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;-1\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(-1;-2;3\right)$

Câu 4:

A. (2; 0; 0)

B. (1; 0; 0)

C. (3; 0; 0)

D. (0; 2; 3)

Câu 5:

A. N (-1; -2; -3)

B. N (1; 2; 0)

C. N (-1; -2; 3)

D. N (1; 2; -3)

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm I (-5; 0; 5) là trung điểm của đoạn MN, biết M (1; -4; 7). Tìm tọa độ của điểm N.

A. N ( -10; 4; 3)

B. N (-2; -2; 6)

C. N (-11; -4; 3)

D. N (-11; 4; 3).

Câu 7:

A. D (2; -1; 2)

B. D (-12; 5; 2)

C. D (-12; -5; 2)

D. D (-2; -1; 2)

Câu 8:

A. M (-2; 6; -4)

B. M (2; -6; 4)

C. M (-2; -6; 4)

D. M (5; 5; 0)

Câu 9:

A. $\overrightarrow{a}=\left(-8;9;-1\right).$

B. $\overrightarrow{a}=\left(-8;-9;1\right).$

C. $\overrightarrow{a}=\left(8;-9;-1\right).$

D. $\overrightarrow{a}=\left(-8;-9;-1\right).$

Câu 10:

A. Q (-2; -3; -4)

B. Q (2; 3; -4)

C. Q (-2; -3; 4)

D. Q (4; 4; 2)

ĐÁP ÁN