Công thức tính thể tích các khối tròn xoay đặc biệt chi tiết nhất – Toán 12

Công thức tính thể tích các khối tròn xoay đặc biệt chi tiết nhất- Toán lớp 12

1. Khối chỏm cầu

Chỏm cầu thu được khi ta dùng một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu

Là phần màu xanh trong hình vẽ

- Các đại lượng:

+ Phần mặt cầu bị cắt là mặt đáy chỏm cầu có dạng hình tròn và bán kính là a

+ Khoảng cách từ mặt đáy tới đỉnh của chỏm là chiều cao h

- Công thức tính diện tích xung quanh

$S_{xq}=2\pi rh$

Hoặc

$S_{xq}=\pi \left(a^2+h^2\right)$

Trong đó: r là bán kính mặt cầu ; h là chiều cao của chỏm và a là bán kính đáy chỏm.

- Công thức tính thể tích chỏm cầu

$V=\pi h^2.\left(r-\frac{h}{3}\right)$

Hoặc

$V=\frac{\pi h}{6}\left(3a^2+h^2\right)$

2. Khối tròn xoay dạng đặc biệt

- Được tạo thành khi quay đường gấp khúc SMA quanh trục SO.

- Về mặt hình dạng: Gồm 2 phần

+ Hình nón bên trên

+ Hình trụ bên dưới

- Các đại lượng

+ Chiều cao SO (h)

+ Chiều cao hình trụ OI (l)

+ Bán kính đáy (r)

- Công thức tính diện tích xung quanh: Là tổng diện tích 2 phần

$S_{xq}=2\pi rl+\pi r\sqrt{{\left(h-l\right)}^2+r^2}$

- Công thức tính thể tích: Là tổng thể tích 2 phần

$V=\pi r^{2}l+\frac{1}{3}\pi r^2\left(h-l\right)$

3. Ví dụ áp dụng

VD1.

a. $r=5cm;h=10cm$

b. $a=4dm;h=6dm$

Lời giải:

VD2.

Lời giải:

Gọi V là thể tích lòng trong của bồn tắm cần tính

$V_1$ là thể tích của nửa quả cầu bán kính r

$V_2$ là thể tích của nửa khối chỏm cầu như hình vẽ

$\Rightarrow V=V_1-V_2$

Xét tam giác OAB vuông cân tại O đường cao $OH=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow r=OA=1$

$\Rightarrow$Chiều cao chỏm cầu là: $h=r-OH=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Khi đó $V_1=\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi$

$V_2=\frac{1}{2}\pi h^2.\left(r-\frac{h}{3}\right)=\frac{1}{2}\pi .{\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2.\left(1-\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{3}\right)=\frac{8-5\sqrt{2}}{24}\pi \Rightarrow V=V_1-V_2=\frac{8+5\sqrt{2}}{24}\pi$

VD3.

Biết rằng chiều dài của bút là 12cm; đường kính đáy bằng 2cm và phần thân bút dài 10cm. Tính thể tích của chiếc bút.

Lời giải:

VD4.

Lời giải:

Gọi S là diện tích của cốc đựng trà sữa

$S_1$ là diện tích phần thân hình trụ bán kính $r=3cm$; chiều cao $h=10cm$

$\Rightarrow S_1=2\pi \mathrm{.3.10}=60\pi c{m}^2=\frac{3}{5}\pi \text{ d}{m}^2$

$\Rightarrow$Chi phí sản xuất là:

$\frac{3}{5}\pi .1000\approx 1885$đồng

$S_2$ là diện tích phần chỏm cầu bán kính $a=3cm$; chiều cao $h=4cm$

$\Rightarrow S_2=\pi \left(3^2+4^2\right)=25\pi c{m}^2=\frac{1}{4}\pi \text{d}{m}^2$

$\Rightarrow$Chi phí sản xuất là: $\frac{1}{4}\pi .1500\approx 1178$đồng

Vậy tổng chi phí là khoảng 3600 đồng.