50 bài toán về ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay (có đáp án 2024) – Toán 12

Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay và cách giải - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Tính thể tích của vật thể.

Cho H là một vật thể nằm giới hạn giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a và x = b (a < b). Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x ($a\le x\le b$ ). Giả sử S(x) là một hàm liên tục trên [a; b].

Khi đó thể tích V của H là $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$. (hình dưới)

2. Tính thể tích khối tròn xoay.

Bài toán 1. Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox

Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường y = f(x); y = 0; x = a; x = b quanh trục Ox được tính theo công thức

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$

Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) và hai đường x = a; x = b (với $f\left(x\right).g\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left.a;b\right]$) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính bởi công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|\text{d}x$.

Bài toán 2. Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Oy

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường x = g(y) , trục tung và hai đường y = a; y = b quanh trục Oy được tính theo công thức $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{g}^2\left(y\right)\text{d}y$

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn $\left.a,b\right]\left(a\ge 0\right)$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục tung tạo nên một khối xoay. Thể tích V của khối tròn xoay đó là $V=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}xf\left(x\right)dx$

Chú ý: Khi bài toán không cho hai đường thẳng giới hạn x = a và x = b thì ta giải phương trình f(x) = g(x) để tìm cận của tích phân, trong đó x = a là nghiệm nhỏ nhất và x = b là nghiệm lớn nhất của phương trình.

B. VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1.

A. $\frac{\pi }{2}$ (đvtt)

B. $\frac{{\pi }^2}{2}$(đvtt)

C. $\pi$ (đvtt)

D. ${\pi }^2$ (đvtt)

Lời giải

Áp dụng công thức ở định lý trên ta có

$V=\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(1-\cos 2x\right)dx={\left.\frac{\pi }{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)\right|}_0^{\pi }=\frac{\pi }{2}\left(\pi -\frac{1}{2}\sin 2\pi \right)-\frac{\pi }{2}\left(0-\frac{1}{2}\sin 0\right)=\frac{{\pi }^2}{2}$

Chọn B.

Ví dụ 2.

Lời giải

Ta thấy:

$y=\sqrt{A^2-x^2}\iff y^2=A^2-x^2\iff x^2+y^2=A^2$

Do $\sqrt{A^2-x^2}\ge 0$ với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O, bán kính R = A nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính R = A (hình vẽ). Do vậy ta có luôn $V=\frac{4}{3}.\pi .A^3$

Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.

Ví dụ 3.

A. $V=\frac{8}{3}.$

B. $V=\frac{32}{5}.$

C. $V=\frac{8\pi }{3}.$

D. $V=\frac{32\pi }{5}.$

Lời giải

Thể tích cần tính là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{4}dx=\pi .{\left.\frac{x^5}{5}\right|}_0^2=\frac{32\pi }{5}.$

Chọn D.

Ví dụ 4.

A. $V=\frac{153}{3}\pi .$

B. $V=\frac{9}{2}\pi .$

C. $V=\frac{81}{10}\pi .$

D. $V=\frac{153}{5}\pi .$

Lời giải:

Chọn D.

Ví dụ 5.

A. $\ln 2-1.$

B. $\frac{1}{2}\left(\ln 2-1\right).$

C. $\ln 2-\frac{1}{2}.$

D. $\frac{1}{2}\ln 2-1.$

Lời giải:

Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là:

$S\left(x\right)=x\ln \left(x^2+1\right)$

Ta có thể tích cần tính là

Chọn C.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1

A. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x.$

B. $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x.$

C. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

D. $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.f\left(x\right)\right|\text{d}x.$

Câu 2.

A. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)\text{d}x.$

B. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left.S\left(x\right)\right|\text{d}x.$

C. $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)\text{d}x.$

D. $V={\pi }^2\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)\text{d}x.$

Câu 3.

A. $V=\pi -1$

B. $V=(\pi -1)\pi$

C. $V=(\pi +1)\pi$

D. $V=\pi +1$

Câu 4.

A. $V=\frac{4}{5}\pi .$

B. $V=\frac{28}{15}\pi .$

C. $V=\frac{8}{15}\pi .$

D. $V=\pi .$

Câu 5.

A. $V=\frac{\pi e^2}{2}$

B. $V=\frac{\pi (e^2+1)}{2}$

C. $V=\frac{e^2-1}{2}$

D. $V=\frac{\pi (e^2-1)}{2}$

Câu 6.

A. $V=\frac{\pi }{3}.$

B. $V=\frac{\pi }{4}.$

C. $V=\frac{\pi }{5}.$

D. $V=\pi .$

Câu 7.

A. $V=10\pi .$

B. $V=12\pi .$

C. $V=14\pi .$

D. $V=16\pi .$

Câu 8.

A. $V=\frac{124\pi }{15}.$

B. $V=\frac{126\pi }{15}.$

C. $V=\frac{128\pi }{15}.$

D. $V=\frac{131\pi }{15}.$

Câu 9.

A. $V=\frac{41\pi }{3}.$

B. $V=\frac{40\pi }{3}.$

C. $V=\frac{38\pi }{3}.$

D. $V=\frac{41\pi }{2}.$

Câu 10.

A. $V=\pi \left(e-2\right).$

B. $V=\pi \left(e-1\right).$

C. $V=\pi e.$

D. $V=\pi \left(e+1\right).$

Câu 11.

A. $V=\frac{1}{3}\pi .$

B. $V=\frac{3}{2}\pi .$

C. $V=\frac{32}{15}\pi .$

D. $V=\frac{11}{6}\pi .$

Câu 12.

A. $\frac{21}{5}\pi .$

B. $6\pi .$

C. $\frac{64}{15}\pi .$

D. $\frac{10}{3}\pi .$

Câu 13.

A. $\frac{1}{2}\pi$

B. $\pi$

C. $3\pi$

D. $2\pi$

Câu 14.

A. $\pi$

B. $2\pi$

C. $3\pi$

D. $4\pi$

Câu 15.

A. $\frac{1}{2}\pi$

B. $\pi \sqrt{3}$

C. $\pi$

D. $\frac{2}{3}\pi$

Câu 16.

A. $\frac{348}{5}\pi$

B. $\frac{28}{15}\pi$

C. $\frac{206}{15}\pi$

D. $2\pi$

Câu 17.

A. $\frac{32\pi }{5}$

B. $\frac{58\pi }{7}$

C. $9\pi$

D. $7\pi$

Câu 18.

A. $V=\frac{\pi }{2}$

B. $V=\frac{\pi }{3}$

C. $V=\frac{\pi }{4}$

D. $V=\frac{\pi }{5}$

Câu 19.

A. $V=\frac{\pi }{6}$

B. $V=\frac{\pi }{2}$

C. $V=\frac{\pi }{4}$

D. $V=\frac{\pi }{3}$

Câu 20.

A. $V=\pi \left(đvtt\right)$

B. $V=\frac{3\pi }{2}\left(đvtt\right)$

C. $V=\frac{4\pi }{3}\left(đvtt\right)$

D. $V={\pi }^2\left(đvtt\right)$

Câu 21.

A. $\frac{357\pi }{5}$

B. $\frac{256\pi }{5}$

C. $\frac{7}{2}\pi$

D. $\pi$

Câu 22.

A. $V=\pi (\sqrt{3}+\frac{\pi }{3})$

B. $V=\pi (\sqrt{3}-\frac{\pi }{3})$

C. $V=\pi (\sqrt{3}+\frac{\pi }{3})$

D. $V=\pi (\sqrt{3}-\frac{\pi }{3})$

Câu 23.

A. $\frac{8\pi \sqrt{2}}{3}$

B. $2\pi$

C. $\frac{46\pi }{15}$

D. $\frac{5\pi }{2}$

Câu 24.

Thể tích V khi quay (H) quanh trục Ox là:

A. $\frac{3\pi }{5}$

B. $\frac{-15\pi }{4}$

C. $\frac{33\pi }{5}$

D. $\frac{-21\pi }{2}$

Câu 25.

A. $\pi ({\text{e}}^{\text{2}}+e)$

B. $\pi ({\text{e}}^{\text{2}}-e)$

C. $\pi {\text{e}}^{\text{2}}$

D. $\pi \text{e}$

Câu 26.

Gọi M, N , E, F lần lượt là trung điểm của BC, AD, BN và NC. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình tứ giác BEFC quanh trục AB.

A. 100π.

B. 96π.

C. 84π.

D. 90π

Câu 27.

A. [3; 4).

B. [2; 3).

C. [1; 2).

D. (0; 1).

Câu 28.

A. $V=8\pi \sqrt{6}-2\pi .$

B. $V=8\pi \sqrt{6}+\frac{22}{3}\pi .$

C. $V=8\pi \sqrt{6}-\frac{22}{3}\pi .$

D. $V=4\pi \sqrt{6}+\frac{22}{3}\pi .$

Câu 29.

A. $\frac{14}{3}\pi$

B. $\frac{68}{3}\pi$

C. $\frac{8}{3}\pi$

D. $\frac{2}{3}\pi$

Câu 30.

A. $\frac{{\pi }^2}{3}$

B. $\frac{{\pi }^2}{2}$

C. $\frac{{\pi }^2}{4}$

D. $\frac{2{\pi }^2}{3}$

Đáp án