50 bài toán về các bài toán thực tế hình không gian (có đáp án 2024) – Toán 12

Các bài toán thực tế hình không gian và cách giải bài tập - Toán lớp 12

Dạng 1: Mặt cầu, hình cầu, khối cầu

Phương pháp giải:

Cho mặt cầu S (I; R)

- Diện tích mặt cầu: $S=4\pi R^2$

- Thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Lời giải

Ta có thể tích phần nước dâng lên chính bằng thể tích của viên bi bỏ vào

Do đó thể tích nước ban đầu $V_1=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)$

Khi đó thể tích nước sau khi bỏ viên bi vào sẽ là:

$V_2=V_1+\frac{4}{3}\pi r^3$

$V_2=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)+\frac{4}{3}\pi r^3$ (1)

Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi

Do vậy thể tích sau khi bỏ viên bi vào được tính bằng công thức:

$V_2=\pi {\left(2r\right)}^2\left(R-\frac{2r}{3}\right)$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)+\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\left(R-\frac{2r}{3}\right)\iff 4r^3-4R{r}^2+h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)=0$

Thay R = 10; h = 2 ta được r = 9,905 hoặc r = 1,019

Vì bán kính của viên bi r = 9,905 xấp xỉ bằng chậu nước là điều vô lí

Ta chọn r = 1,019

Vậy bán kính của viên bi là r = 1,019.

Ví dụ 2:

Lời giải

Giả sử bán kính mặt cầu là R

Ta có: $C=2\pi R$

$\Rightarrow R=\frac{68,5}{2\pi }=10,9cm$

Diện tích xung quanh mặt cầu:

$S_{xq}=4\pi R^2{S}_{xq}=1493,6c{m}^2$

Vậy số miếng da để làm quả bóng trên là: $N=\frac{S_{xq}}{S}$

$N=\frac{1493,6}{49,83}\approx 30$ (miếng)

Vậy cần ít nhất 30 miếng da để làm quả bóng trên.

Dạng 2: Mặt trụ, hình trụ, khối trụ

Phương pháp giải: Sử dụng công thức:

- Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R, chiều cao h là: $S_{xq}=2\pi Rh$

- Diện tích toàn phần hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy.

- Thể tích V của khối trụ tròn xoay có chiều cao h, bán kính mặt đáy R là: $V=\pi R^{2}h$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Lời giải

Thể tích khối trụ là

$V=\pi r^{2}h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi r^2}$

Giả sử số tiền làm mặt xung quanh là 1 thì số tiền mặt đáy và nắp là 3

Số tiền để làm thùng là $T=2\pi rh+6\pi r^2$

Ví dụ 2:

Lời giải

Dạng 3: Mặt nón, hình nón, khối nón

Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt các công thức:

- Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi rl$

- Diện tích đáy: $S_d=\pi r^2$

- Diện tích toàn phần: $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$

- Thể tích: $V=\frac{1}{3}{S}_d.h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Trong đó: h là chiều cao, l là đường sinh và r là bán kính đáy của hình nón.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Lời giải

Thể tích phần kem phía trên bằng:

$\frac{2}{3}\pi r^3=200c{m}^3$

Thể tích phần kem phía dưới bằng:

$\frac{\pi r^{2}h}{3}=\frac{\pi r^2\left(2r\right)}{3}=\frac{2\pi r^3}{3}=200c{m}^3$

Vậy thể tích của cả chiếc kem bằng $400c{m}^3$

Ví dụ 2:

Lời giải

Gọi $r_1=BE,h_1=AB$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón $N_1$

Gọi $r_2=CD,h=AC$lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón $N_2$

Khi đó thể tích hai khối nón lần lượt là:

Vậy chiều cao của hình nón $N_2$ là h = 20 cm.

II. Bài tập áp dụng

Bài 1:

A. 0,501 cm

B. 0,302 cm

C. 0,216 cm

D. 0, 188 cm

Bài 2:

A. $V=\frac{b^2{c}^2}{3\sqrt{b^2+c^2}}$

B. $V=\frac{\pi b^2{c}^2}{3\sqrt{b^2+c^2}}$

C. $V=\frac{2\pi b^2{c}^2}{3\sqrt{b^2+c^2}}$

D. $V=\frac{\pi b^2{c}^2}{3\sqrt{2(b^2+c^2)}}$

Bài 3:

A. $\frac{\pi }{12-\pi }$

B. $\frac{\pi }{12}$

C. $\frac{1}{11}$

D. $\frac{11}{12}$

Bài 4:

A. 14.647.000 đồng

B. 13.627.000 đồng

C. 16.459.000 đồng

D. 15.844.000 đồng

Bài 5:

A. 1,8 m

B. 2,1 m

C. 1,6 m

D. 2,5 m

Bài 6:

A. 22 990 405 đồng

B. 5 473 906 đồng

C. 5 473 907 đồng

D. 22 990 407 đồng

Bài 7:

A. $27\pi d{m}^3$

B. $6\pi d{m}^3$

C. $9\pi d{m}^3$

D. $24\pi d{m}^3$

Bài 8:

A. $V=\frac{1600\sqrt{2}}{3}l$

B. $V=\frac{16\sqrt{2}\pi }{3}l$

C. $V=\frac{16000\sqrt{2}\pi }{3}l$

D. $V=\frac{160\sqrt{2}\pi }{3}l$

Bài 9:

A. 85,5a đồng

B. 9,07a đồng

C. 8,45a đồng

D. 90,07a đồng

Bài 10:

A. 103,3a đồng

B. 97,03a đồng

C. 10,33a đồng

D. 9,7a đồng