Công thức tính thể tích khối nón chi tiết nhất – Toán 12

Công thức tính thể tích khối nón chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Định nghĩa

- Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

2. Công thức tính thể tích khối nón

Cho khối nón tròn xoay có diện tích đáy là S; chiều cao là h.

Khi đó : $V=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}\pi .r^2.h$

3. Ví dụ áp dụng

VD1.

Quay tam giác OIM quanh cạnh OI được hình nón tròn xoay. Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo thành.

Lời giải:

Ta có :

$OI=IM.\cot {30}^{\circ }=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi r^2.h=\frac{1}{3}\pi a^2.a\sqrt{3}=\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{3}$

VD2.

Lời giải:

Chiều cao khối nón là a.

Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông bằng $\frac{a}{2}$

Suy ra :

$\Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi r^2.h=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^{2}a=\frac{\pi a^3}{12}$

VD3.

Lời giải:

Quay tam giác ABC quanh BC ta được 2 khối nón tròn xoay

Gọi $V_1$là khối nón đỉnh C đường cao CH, bán kính AH

$V_2$ là khối nói đỉnh B đường cao BH, bán kính AH

Theo định lí Pytago ta có: $AC=6$

Ta có: 

$AB.AC=AH.BC\Rightarrow AH=4,8$

$A{B}^2=BH.BC\Rightarrow BH=6,4\Rightarrow CH=3,6$

Khi đó:

$V_1=\frac{1}{3}\pi .4,8^2.3,6=27,648\pi$

$V_2=\frac{1}{3}\pi .4,8^2.6,4=49,152\pi$

Do vậy thể tích hình tròn xoay là:

$V=V_1+V_2=76,8\pi$