50 bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách giải (có đáp án 2024) – Toán 12

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách giải bài tập - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

1. Phương pháp giải.

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Cho hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ và điểm $M\left(x_0;y_0\right)\in \left(C\right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.

Bước 1: Tính đạo hàm $y^{\text{'}}$. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là $y^{\text{'}}\left(x_0\right)$.

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: $y=y^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0$

Lưu ý:

- Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$ thì khi đó ta tìm $y_0$ bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức $y_0=f\left(x_0\right).$ Nếu đề cho $y_0$ ta thay vào hàm số để giải ra $x_0$.

- Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị $\left(C\right):y=f\left(x\right)$và đường thẳng $d:y=ax+b.$ Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$có hệ số góc k cho trước.

Bước 1: Gọi $\left(\Delta \right)$ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

Bước 2: Giả sử $M\left(x_0;y_0\right)$ là tiếp điểm. Khi đó $x_0$ thỏa mãn: $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=k$ (*) .

Bước 3: Giải (*) tìm $x_0$. Suy ra $y_0=f\left(x_0\right)$.

Bước 4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=k\left(x-x_0\right)+y_0$

Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

- Tiếp tuyến $d\text{ // }\Delta :y=ax+b\Rightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến là $k=a.$

- Tiếp tuyến $d\perp \Delta :y=ax+b,\left(a\ne 0\right)\iff$ hệ số góc của tiếp tuyến là $k=-\frac{1}{a}\cdot$

- Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc $\alpha$ thì hệ số góc của tiếp tuyến là $k=\pm \tan \alpha .$

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left(x_A;y_A\right).$

Cách 1.

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua $A\left(x_A;y_A\right)$ hệ số góc k có dạng

$d:y=k\left(x-x_A\right)+y_A(\ast )$

Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=k\left(x-x_A\right)+y_A\\ f^{\text{'}}\left(x\right)=k\end{array}$

Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình $(\ast )$, ta được tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2.

Bước 1. Gọi $M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến $k=y^{\text{'}}\left(x_0\right)=f^{\text{'}}\left(x_0\right)$ theo $x_0.$

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng:$d:y=y^{\text{'}}\left(x_0\right).\left(x-x_0\right)+y_0(\ast \ast )$ . Do điểm $A\left(x_A;y_A\right)\in d$ nên $y_A=y^{\text{'}}\left(x_0\right).\left(x_A-x_0\right)+y_0$ giải phương trình này ta tìm được $x_0$.

Bước 3. Thế $x_0$vào $(\ast \ast )$ ta được tiếp tuyến cần tìm.

Bài toán 4 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số $\left(C_1\right):y=f\left(x\right)$ và $\left(C_2\right):y=g\left(x\right)$.

Bước 1. Gọi d tiếp tuyến chung của $\left(C_1\right),\left(C_2\right)$ và $x_0$ là hoành độ tiếp điểm của d và $\left(C_1\right)$ thì phương trình d có dạng $y=f^{\text{'}}\left(x_0\right).\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)\left(***\right)$

Bước 2. Dùng điều kiện tiếp xúc của d và $\left(C_2\right)$, tìm được $x_0$.

Bước 3. Thế $x_0$ vào $\left(***\right)$ ta được tiếp tuyến cần tìm.

Lưu ý:

- Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc (C) là: $k=y^{\text{'}}\left(x_0\right)$

- Cho đường thẳng $\left(d\right):y=ax+b$

- Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.

- Cho hàm số bậc 3: $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,\left(a\ne 0\right)$

+) Khi a > 0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

+) Khi a < 0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.

2. Công thức tính nhanh.

Bài toán 1: Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}\left(c\ne 0,x\ne -\frac{d}{c}\right)$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ tại M thuộc (C) và I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Ta luôn có:

- Nếu $\Delta \perp IM$ thì chỉ tồn tại 2 điểm M thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) đối xứng qua I và $x_M=\frac{\pm \sqrt{\left.ad-bc\right|}-d}{c}$.

Cách nhớ: $\underset{}{\underbrace{c{x}_M+d}}=\pm \underset{}{\underbrace{\sqrt{\left.ad-bc\right|}}}$

- M luôn là trung điểm của AB(với A,B là giao điểm của $\Delta$ với 2 tiệm cận).

- Diện tích tam giác IAB không đổi với mọi điểm M và $S_{\Delta IAB}=2\frac{\left.bc-ad\right|}{c^2}$.

- Nếu E,F thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) và E,F đối xứng qua I thì tiếp tuyến tại E,F song song với nhau (suy ra một đường thẳng d đi qua E,F thì đi qua tâm I).

Chứng minh:

- Ta có $y^{\text{'}}=\frac{ad-bc}{{\left(cx+d\right)}^2}$;$I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right)$ là giao điểm của 2 tiệm cận.

- Gọi $M\left(x_M;\frac{a{x}_M+b}{c{x}_M+d}\right)\in \left(C\right);$$\left(x_M\ne -\frac{d}{c}\right)$. Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:

$\Delta :y=\frac{ad-bc}{{(c{x}_M+d)}^2}(x-x_M)+\frac{a{x}_M+b}{c{x}_M+d}$

Ta có:

Lại có:

- Giao điểm của $\Delta$ với tiệm cận ngang là $A\left(2x_M+\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right)$.

- Giao điểm của $\Delta$ với tiệm cận đứng là $B\left(-\frac{d}{c};\frac{ac{x}_M+2bc-ad}{c\left(c{x}_M+d\right)}\right)$.

- Xét :

$\begin{array}{l}{x}_A+x_B=2x_M+\frac{d}{c}-\frac{d}{c}=2x_M\\ y_A+y_B=\frac{a}{c}+\frac{ac{x}_M+2bc-ad}{c\left(c{x}_M+d\right)}\\ =2.\frac{a{x}_M+b}{c{x}_M+d}=2y_M\end{array}$

Vậy M luôn là trung điểm của AB.

Ta có:

Vậy diện tích $\Delta IAB$ không đổi với mọi điểm M.

Ta có:

- Gọi

Từ (1) và (2) suy ra $k_E=k_F$.

Bài toán 2: Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị là (C),$\left(c\ne 0,ad-bc\ne 0\right)$ . Gọi điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ trên (C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt các trục $Ox,Oy$ lần lượt tại A,B sao cho $OA=n.OB$. Khi đó $x_0$ thoả mãn $c{x}_0+d=\pm \sqrt{n.\left.ad-bc\right|}$.

Chứng minh:

- Xét hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, $\left(c\ne 0,ad-bc\ne 0\right)$.

Ta có $y\text{'}=\frac{ad-bc}{{\left(cx+d\right)}^2}.$

- Gọi $M\left(x_0;\frac{a{x}_0+b}{c{x}_0+d}\right)\in \left(C\right)$ là điểm cần tìm. Gọi $\Delta$ tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình $∆$:

B. VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1.

A. $\begin{array}{l}y=40x-101\\ y=-40x-59\end{array}$

B. $\begin{array}{l}y=40x-59\\ y=-40x-101\end{array}$

C. $\begin{array}{l}y=40x+59\\ y=-40x+101\end{array}$

D. $\begin{array}{l}y=-40x-59\\ y=40x+101\end{array}$.

Lời giải

Gọi H(x₀ ;y₀) ta có y₀ = 21 nghĩa là $x_0^4+2x_0^2-3=21$

Giải phương trình:

$x_0^4+2x_0^2-3=21\iff \begin{array}{l}{x}_0=2\\ x_0=-2\end{array}$

Đồng thời $y\text{'}=4x^3+4x$, suy ra:

$\begin{array}{l}y\text{'}\left(2\right)=40\\ y\text{'}\left(-2\right)=-40\end{array}$

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là $y=40x-59$ và $y=-40x-101$.

Chọn B.

Ví dụ 2.

A. $y=x+1$

B. $y=-7x+1$

C. $y=1$

D. $y=0$.

Lời giải

Theo giả thiết ta có $x_0=0,y_0=1$ và $y\text{'}=9x^2-2x-7$ →$y\text{'}\left(0\right)=-7$

Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=-7x+1$.

Chọn B.

Ví dụ 3.

A. $-\frac{7}{2}$

B. $\frac{7}{2}$

C. $\frac{5}{2}$

D. $-\frac{5}{2}$

Lời giải

- Gọi $M\left(x_0;\frac{x_0-1}{2\left(x_0+1\right)}\right)\in \left(C\right)$ với $x_0\ne -1$ là điểm cần tìm.

- Gọi $\Delta$ tiếp tuyến của (C) tại M ta có phương trình.

- Khi đó $\Delta$ tạo với hai trục tọa độ $\Delta OAB$ có trọng tâm là

Chọn A.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1.

A. $y=2x+2$

B. $y=3x-1$

C. $y=x+1$

D. $y=2-x$.

Câu 2

A. -1

B. -3

C. 3.

D. 5.

Câu 3

A. $y=\frac{3}{4}x+\frac{29}{24}$ hoặc $y=\frac{3}{4}x+3$.

B. $y=\frac{3}{4}x-\frac{37}{12}$ hoặc $y=\frac{3}{4}x-3$.

C. $y=\frac{3}{4}x+\frac{37}{12}$ hoặc $y=\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}$.

D. $y=\frac{3}{4}x-\frac{29}{24}$ hoặc $y=\frac{3}{4}x+3$.

Câu 4

A. -3,5

B. - 5,5

C. - 7,5

D. -9,5

Câu 5.

A. $y=9x+40$

B. $y=9x-40$

C. $y=9x+32$

D. $y=9x-32$

Câu 6

A. 5.

B. 6

C. 12

D. $6\sqrt{82}$.

Câu 7.

A. $M\left(2;5\right),M\left(0;-1\right)$

B. $M\left(2;5\right),M\left(-2;1\right)$

C. $M\left(0;-1\right),M\left(-2;1\right)$.

D. $M\left(-1;\frac{3}{2}\right),M\left(-2;1\right)$.

Câu 8. Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x+1}$ có đồ thị (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến thỏa mãn khoảng cách từ giao điểm của hai tiệm cận đến nó là lớn nhất, có phương trình:

A. $y=-x+2$ hoặc $y=-x-2$.

B. $y=-x+2$ hoặc $y=-x-1$.

C.$y=x+2$ hoặc $y=x-2$

D. $y=-x+1$ hoặc $y=-x-1$.

Câu 9. Từ điểm $A\left(\frac{2}{3};0\right)$ kẻ đến đồ thị hàm số $y=\frac{5}{6}{x}^3+mx-\frac{2m}{3}$ hai tiếp tuyến vuông góc nhau thì tập tất cả các giá trị của m bằng:

A. $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=2$.

B. $m=-\frac{1}{2}$ hoặc $m=-2$.

C. $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-2$.

D. $m=-\frac{1}{2}$ hoặc $m=2$.

Câu 10.

A. $m=0$

B. $m=1$

C. $m=\pm 2$

D. $m=3$

Câu 11.

A. $b-2a=0.$

B. $a-2b=0.$

C. $b-3a=0.$

D. $a-3b=0.$

Câu 12

A. 2.

B. 1.

C. -1.

D. 0.

Câu 13

A. $\left(2;4\right)$ hoặc $\left(10;28\right)$.

B. $\left(2;-4\right)$ hoặc $\left(10;-28\right)$.

C. $\left(-2;4\right)$ hoặc $\left(-10;28\right)$.

D. $\left(-2;-4\right)$ hoặc $\left(-10;-28\right)$.

Câu 14.

A. 0.

B. 2

C. 3

D. 1

Câu 15.

A. $y=-9x+14$

B. $y=9x+14$

C. $y=-9x+22$

D. $y=9x+22$

Câu 16.

A. $y=\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}$

B. $y=-\frac{1}{5}x-\frac{2}{5}$

C. $y=-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}$

D. $y=\frac{1}{5}x-\frac{2}{5}$.

Câu 17.

A. $y=-48x+192$

B. $y=-48x+160$

C. $y=-48x-160$.

D. $y=-48x-192$.

Câu 18.

A. $\begin{array}{l}y=4x-3\\ y=4x+13\end{array}$

B. $\begin{array}{l}y=4x-3\\ y=4x-13\end{array}$

C. $\begin{array}{l}y=4x+3\\ y=4x+13\end{array}$.

D. $\begin{array}{l}y=4x+3\\ y=4x-13\end{array}$.

Câu 19.

A. $\begin{array}{l}y=\frac{1}{21}x-33\\ y=\frac{1}{21}x+31\end{array}$

B. $\begin{array}{l}y=-21x-33\\ y=-21x+31\end{array}$

C. $\begin{array}{l}y=21x-33\\ y=21x+31\end{array}$

D. $\begin{array}{l}y=\frac{-1}{21}x-33\\ y=\frac{-1}{21}x+31\end{array}$.

Câu 20.

A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 21.

A. $y=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}$

B. $y=-\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}$

C. $y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$

D. $y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$.

Câu 22.

A. $\begin{array}{l}y=-2\\ y=2\end{array}$

B. $y=2$.

C. $y=-2$

D. $\begin{array}{l}y=-2\\ y=0\end{array}$.

Câu 23.

A. $y=-3x+2$

B. $y=3x+2$

C. $y=-3x+8$

D. $y=3x+8$.

Câu 24.

A. $y=15x+55$

B. $y=-15x-5$.

C. $y=15x-5$.

D. $y=-15x+55$.

Câu 25.

A. $\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}\\ y=\sqrt{3}x\end{array}$

B. $\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x-4\sqrt{3}\\ y=\sqrt{3}x\end{array}$.

C. $\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}\\ y=-\sqrt{3}x\end{array}$

D. $\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}x-4\sqrt{3}\\ y=-\sqrt{3}x\end{array}$.

Câu 26.

A. $\left.-1\right\}$.

B. $\varnothing$

C. $\left.-\frac{1}{3};-1\right\}$

D. $\left.-\frac{1}{3}\right\}$.

Câu 27.

A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 28.

A. $\left(-1;-4\right)$.

B. $\left(2;5\right)$.

C. $\left(1;2\right)$.

D. $\left(0;1\right)$.

Câu 29.

A. $y=x+1$

B. $y=x+4.$

C. $y=x-4$

D. $y=x$.

Câu 30.

A. $\begin{array}{l}x-36y-4=0\\ x+36y-4=0\end{array}$

B. $\begin{array}{l}y=-36x-86\\ y=36x-86\end{array}$.

C. $\begin{array}{l}y=-36x+58\\ y=36x+58\end{array}$

D. $\begin{array}{l}x-36y+14=0\\ x+36y+14=0\end{array}$.

Câu 31.

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 0.

Câu 32.

A. $M\left(4;\frac{7}{3}\right)$

B. $M\left(3;\frac{5}{2}\right)$

C. $M\left(2;3\right)$.

D. $M\left(5;3\right)$.

Câu 33.

A. -1

B. -2

C. 3

D. -5

Câu 34.

A. $y=-x-2$

B. $y=-x.$

C. $y=-x+2.$

D. $y=-x+1.$

Câu 35.

A. $\begin{array}{l}y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\\ y=-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}\end{array}$

B. $\begin{array}{l}y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\\ y=-\frac{1}{4}x+\frac{13}{2}\end{array}$.

C. $\begin{array}{l}y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}\\ y=-\frac{1}{4}x+\frac{13}{2}\end{array}$

D. $\begin{array}{l}y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}\\ y=-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}\end{array}$.

Câu 36.

A. 3e

B. 2e

C. e

D. 4e

Câu 37.

A. 7.

B. 5.

C. 6.

D. 4.

Câu 38.

A. $\sqrt{3}$.

B. $2\sqrt{6}$.

C. $2\sqrt{3}$

D. $\sqrt{6}$.

Câu 39.

A. 6.

B. 4.

C. 3.

D. 5.

Câu 40.

A. $\left(27;28\right)$

B. $\left(28;29\right)$

C. $\left(26;27\right)$

D. $\left(29;30\right)$.

Đáp án