Công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón (2024) chính xác nhất

Công thức tính diện tích hình nónđầy đủ nhất

I. Lý thuyết về hình nón

Hình nón là hình được tạo ra khi quay tam giác vuông một vòng quanh một góc vuông cố định.

- Mặt đáy: là mặt phẳng có hình dạng hình chọn của hình nón.

- Đường cao: là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến đỉnh của hình chóp hay được gọi là đường cao hạ từ đỉnh xuống tâm đáy hình nón. Được ký hiệu là: h.

- Đường sinh: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường tròn đấy đến đỉnh của hình chóp. Được ký hiệu là: l.

- Bán kính đáy: là khoảng cách từ tâm đến một điểm trên hình tròn của mặt phẳng đáy. Được ký hiệu là: r.

II. Các công thức hình nón

1. Công thức tính diện tích đáy

- Đáy hình nón là hình tròn nên $S_d=\pi r^2$

VD1. Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 10 và chiều cao bằng 6. Tính diện tích đáy của hình nón đã cho.

Lời giải:

Bán kính đường tròn đáy là :

$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8$

Suy ra diện tích đáy là: $S_d=\pi r^2=64\pi$

VD2. Cho tứ diện đều ABCD có thể tích $2\sqrt{6}{a}^3$. Tính diện tích đáy của hình nón ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải:

Ta có:

$V_{ABCD}=\frac{B{C}^3.\sqrt{2}}{12}=2\sqrt{6}{a}^3\Rightarrow BC=2\sqrt{3}a$

Suy ra :

$S_d=S_{\Delta BCD}=\frac{{\left(2\sqrt{3}a\right)}^2.\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}{a}^2$

2. Công thức tính diện tích xung quanh hình nón

Cho hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l.

Khi đó:

Sxq = $\pi$.r.l

VD1. Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=9$; $AC=12$. Tính diện tích xung quanh hình nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AB.

Lời giải:

Theo bài ta có: $h=AB=9$; $r=AC=12$

$\Rightarrow l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{9^2+{12}^2}=15$

Vậy diện tích xung quanh hình nón là $S_{xq}=\pi rl=180\pi$

VD2. Cho hình nón có chu vi đáy bằng $20\pi$. Thiết diện qua trục là một tam giác vuông. Tính diện tích xung quanh hình nón.

Lời giải:

Chu vi đáy là :

$C=2\pi r=20\pi \Rightarrow r=10$

Do thiết diện qua trục là tam giác vuông nên $l=r\sqrt{2}=10\sqrt{2}$

Do đó $S_{xq}=\pi rl=100\sqrt{2}\pi$

3. Công thức tính diện tích toàn phần hình nón

Cho hình nón có bán kính r, chiều cao h và đường sinh l

Diện tích toàn phần:

$S_{tp}=S_{xq}+S_d=\pi rl+\pi r^2=\pi r\left(l+r\right)$

VD1. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $65\pi$và độ dài đường sinh bằng 13. Tính diện tích toàn phần của hình nón.

Lời giải:

Ta có:

$S_{xq}=\pi .r.l=65\pi \Rightarrow \pi .r.13=65\pi \iff r=5\Rightarrow S_{tp}=\pi r\left(l+r\right)=\pi \mathrm{.5.}\left(13+5\right)=90\pi$

VD2. Cho hình nón có góc ở đỉnh là ${120}^{\circ }$và đường sinh dài 10. Tính diện tích toàn phần của hình nón đã cho

Lời giải:

Góc ở đỉnh là :

$\widehat{AOB}={120}^{\circ }\Rightarrow \widehat{IOB}={60}^{\circ }$

Ta có :

$r=IB=OB.\sin {60}^{\circ }=5\sqrt{3}$

$\Rightarrow S_{tp}=\pi r\left(l+r\right)=\pi .5\sqrt{3}.\left(10+5\sqrt{3}\right)=\left(75+50\sqrt{3}\right)\pi$

4. Công thức thể tích hình nón

Thể tích hình nón bằng diện tích mặt đáy nhân với chiều cao:

V = π.r².h

Trong đó:

- V hình nón là thể tích của hình nón;

- r là bán kính đáy của hình nón;

- h là đường cao của hình nón;

- π: là hằng số pi = 3,14.

III. Hình nón cụt

Hình nón cụt được hiểu là khi một mặt phẳng song song với đáy cắt một phần phía đỉnh của hai hình nón, lúc này hình nón cụt có hình dạng là 2 mặt phẳng đáy và không có chóp đỉnh.

- Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón cụt như sau:

Sxq = π.(r₁ + r₂).l

- Công thức tính diện tích toàn phần của hình nón cụt như sau:

S_tp = π.(r₁ + r₂).l + πr₁² + πr₂²

- Công thức tính thể tích của hình nón cụt như sau:

V = $\frac{1}{3}$.π.h.(r₁² + r₁.r₂+ r₂²)

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho một hình nón có bán kính đáy r = 5cm và đường sinh 13cm. Tính thể tích hình nón

Giải

Ta có:

Bài 2: Cho hình nón có bán kính đáy là r = 10 cm và đường sinh dài 26 cm. Tính chiều cao của hình nón

Giải:

Ta có:

Bài 3: Một hình nón có đường sinh gấp 2 lần bán kính đường tròn đáy. Tìm khẳng định đúng?

A. h = √3r

B. h = 2r C .h = r

D. h = √2r

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Bài 4: Cho hình thang vuông ABDC vuông tại A và B, biết cạnh AB = BC = 3m, AD = 5m. Tính diện tích xung quanh hình nón cụt tạo thành khi quay hình thang quanh cạnh AB

Giải:

Kẻ CH ⊥ BD tại H. Khi đó ACHB là hình vuông nên

CH = AB = AC = BH = 3cm ⇒ HD = 4 – 3 = 1cm

Xét tam giác vuông CHD ta có CD² = CH² + HD² = 3² + 1² = 10 ⇒ CD = √10

Khi quay hình thang vuông ABDC quanh cạnh AB ta được hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ AC, bán kính đáy lớn BD, đường sinh CD và chiều cao AB

Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt là

Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, biết cạnh AB = BC = 4,5 cm, AD = 7,5cm. Tính diện tích xung quanh hình nón cụt tạo thành khi quay hình thang quanh cạnh AB

Giải:

Kẻ CH ⊥ BD tại H. Khi đó ACHB là hình vuông nên

CH = AB = AC = BH = 4,5cm ⇒ HD = 6 – 4,5 = 1,5cm

Xét tam giác vuông CHD ta có CD² = CH² + HD² = 4,5² + 1,5² = 22,5

Khi quay hình thang vuông ABDC quanh cạnh AB ta được hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ AC, bán kính đáy lớn BD, đường sinh CD và chiều cao AB

Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt là