50 bài toán về mặt nón và phương pháp giải bài tập (có đáp án 2024) – Toán 12

Mặt nón và phương pháp giải bài tập - Toán lớp 12

I. Lý thuyết ngắn gọn

1. Định nghĩa mặt nón

Cho đường thẳng ∆. Xét một đường thẳng l cắt ∆ tại O và không vuông góc với ∆

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh ∆ gọi là mặt nón tròn xoay (hay mặt nón).

+ ∆ gọi là trục của mặt nón

+ l gọi là đường sinh của mặt nón

+ O gọi là đỉnh của mặt nón

- Nếu gọi $\alpha$ là góc giữa l và ∆ thì $2\alpha$ gọi là góc ở đỉnh của mặt nón $(0°<2\alpha <180°)$

- Nếu M là một điểm tùy ý của mặt nón khác điểm O thì đường thẳng OM nằm hoàn toàn trên mặt nón đó. OM cũng được gọi là đường sinh của mặt nón đó

2. Hình nón và khối nón

- Cho mặt nón (N) với trục ∆, đỉnh O và góc ở đỉnh $2\alpha$. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với ∆ tại I khác O. Mặt phẳng (P) cắt mặt nón theo đường tròn tâm I. Lại gọi (P’) là mặt phẳng vuông góc với ∆ tại O.

Khi đó, phần của mặt nón (N) giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (P’) cùng với hình tròn tâm I xác định được gọi là hình nón.

- Khối nón: Một hình nón chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài của nó. Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón.

3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng

a. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân

Trên hình vẽ thiết diện là tam giác SAB

- Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt nón theo 1 đường sinh thì (Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón

b. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là 1 đường tròn

Trên hình vẽ, thiết diện là đường tròn tâm O’

- Mặt phẳng (Q) song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của một hypebol

- Mặt phẳng (Q) song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol

- Mặt phẳng (Q) cắt mọi đường sinh hình nón thì giao tuyến là một đường elip

4. Diện tích hình nón và thể tích khối nón.

Một hình chóp gọi là nội tiếp hình nón nếu:

- Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón

- Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón

a. Định nghĩa.

Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của một hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

Thể tích của khối nón là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh tăng lên vô hạn.

b. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón.

Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài đường sinh là l

- Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi rl$

- Diện tích đáy: $S_d=\pi r^2$

- Diện tích toàn phần:

$S_{tp}=S_{xq}+S_d=\pi rl+\pi r^2$

c. Thể tích của khối nón:

- Thể tích của khối nón có bán kính r và chiều cao h là:

$V=\frac{1}{3}{S}_d.h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

d. Mối liên hệ giữa chiều cao, đường sinh và bán kính đáy

Tam giác SAO vuông tại A, có $S{A}^2=S{O}^2+O{A}^2$

Do đó: $l^2=h^2+R^2$(tham khảo hình vẽ dưới)

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích

Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh hình nón: $S_{xq}=\pi rl$

Diện tích toàn phần hình nón: $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$

Thể tích khối nón: $V=\frac{1}{3}{S}_d.h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Trong đó: h là chiều cao, r là bán kính đáy và l độ dài đường sinh của hình nón.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Lời giải

Tam giác OAB vuông cân có diện tích bằng 2

$\Rightarrow \frac{1}{2}O{A}^2=2\Rightarrow OA=2$

Khi đó: $A{B}^2=2O{A}^2={2.2}^2=8$(định lý Py – ta – go)

$\Rightarrow AB=2\sqrt{2}\Rightarrow h=R=\frac{AB}{2}=\sqrt{2}$

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là:

$S_{xq}=\pi Rl=\pi .R.OA=2\sqrt{2}\pi$

Ví dụ 2:

Lời giải

Gọi I là trung điểm của AB. Dựng OH vuông góc SI

Ta có: $OH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Do $\widehat{SAB}=60°$ nên tam giác SAB đều

Suy ra: SA = SB = AB

Ví dụ 3:

Lời giải

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có:

Dạng 2: Tương giao giữa nón và mặt phẳng, bài toán thiết diện

Phương pháp giải:

a. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân

- Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt nón theo 1 đường sinh thì (Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón

b. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là 1 đường tròn

- Mặt phẳng (Q) song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của một hypebol

- Mặt phẳng (Q) song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol

- Mặt phẳng (Q) cắt mọi đường sinh hình nón thì giao tuyến là một đường elip

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Lời giải

Gọi H là trung điểm AB

Gọi thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB, tâm đường tròn đáy là O

Ta tìm góc giữa (SAB) và đáy

Ví dụ 2:

Lời giải

Gọi mặt phẳng qua đỉnh là tam giác SAB

Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)

Dạng 3: Sự tạo thành nón

Phương pháp giải:

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Lời giải

Xét tam giác ABC vuông tại B

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}\Rightarrow AC=a\sqrt{2}SA=\sqrt{S{C}^2-A{C}^2}\Rightarrow SA=2a$

Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có thể tích là:

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi A{C}^2.SA\Rightarrow V=\frac{4\pi a^3}{3}$

Ví dụ 2:

Lời giải

Tam giác ABC đều, đường cao AH

$\Rightarrow BH=\frac{a}{2}$

Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có $r=\frac{a}{2};l=a$

$S_{xq}=\pi rl=\frac{\pi a^2}{2}$

Dạng 4: Bài toán cực trị

Phương pháp giải:

- Áp dụng các công thức liên quan, đưa bài toán hình học về bài toán đại số (đại số hóa hình học).

- Khảo sát hàm số f(x) trên khoảng xác định (đạo hàm – lập bảng biến thiên)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm và đường kính đáy 24 cm bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải

Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện là một parabol

Xét dây cung bất kỳ chứa đoạn KH như hình vẽ

Suy ra tồn tại đường kính $AB\perp KH$

Trong tam giác SAB, KE // SA, E thuộc SB

Suy ra parabol nhận KE làm trục như hình vẽ chính là một thiết diện thỏa mãn yêu cầu bài toán (thiết diện này song song với đường sinh SA)

Đặt BK = x (0 < x < 24)

Trong tam giác ABH có:

$H{K}^2=BK.AK=x(24-x)$

Trong tam giác SAB có:

$\frac{KE}{SA}=\frac{BK}{BA}$

Thiết diện thu được là một parabol có diện tích:

$S=\frac{4}{3}KH.KE\iff KE=\frac{BK}{BA}.SA\iff KE=\frac{5x}{6}$

Ta có:

Bảng biến thiên:

Vậy thiết diện có diện tích lớn nhất là

$S=\frac{10}{9}\sqrt{24x^3-x^4}=\frac{10}{9}.\sqrt{34992}$

Ví dụ 2:

Lời giải

Ta có tam giác SAB cân và SB = AB

Suy ra tam giác SAB đều

Diện tích xung quanh hình nón là:

$S_{xq}=\pi Rl=50\pi \left(m^2\right)$

Vẽ (P) đi qua C và vuông góc với AB. Mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện là một Elip

Khi đó chiều dài dây đèn điện ngắn nhất chính là chiều dài dây cung AC trên Elip

Ta dung phương pháp trải hình ra sẽ thấy ngay như sau:

Hình trải dài là một hình quạt với AB là độ dài nửa đường tròn và:

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Giao của mặt phẳng đi qua trục của hình nón, cắt đường tròn đáy của hình nón tại hai điểm là hình gì?

A. Hình tròn

B. Hình vuông

C. Hình tam giác

D. Hình bình hành

Bài 2:

A. $\pi a^3$

B. $2\pi a^3$

C. $\frac{2\pi a^3}{3}$

D. $\frac{\pi a^3}{3}$

Bài 3:

A. $\frac{\pi a^3}{6}$

B. $\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{9}$

D. $\frac{\pi a^3}{3}$

Bài 4:

A. $l=3r$

B. $l=2\sqrt{2}r$

C. $l=r$

D. $l=2r$

Bài 5:

A. $5\sqrt{3}cm$

B. $10\sqrt{3}cm$

C. $\frac{5\sqrt{3}}{3}cm$

D. $\frac{10\sqrt{3}}{3}cm$

Bài 6:

A. (4; 6)

B. (2; 4)

C. (-2; 0)

D. (0; 2)

Bài 7:

A. $8\pi$

B. $9\pi$

C. $10\pi$

D. $1\pi$

Bài 8:

A. 2V

B. 4V

C. 3V

D. 6V

Bài 9:

A. $15\pi$

B. $30\pi$

C. $36\pi$

D. $12\pi$

Bài 10:

A. 5

B. 1

C. 3

D. 2,5